Имеется $%m=3$% клетки.Каждую секунду общее число клеток $%m$% , с вероятностью $%p = \frac{1}{4}$% увеличивается на $%1$% , с вероятностью $%q = \frac{5}{12}$% уменьшается на $%1$%, а с вероятностью $%r=\frac{1}{3}$% не меняется.

Как найти ?:

а)Вероятность того ,что через $%n$% секунд число клеток станет равным нулю

б)Вероятность того,что рано или поздно число клеток станет равным нулю

задан 8 Сен 23:34

изменен 9 Сен 1:38

Нужно подправить условие. При m=0 уменьшения быть уже не может, и там процесс по идее должен оканчиваться.

Я думаю, что в пункте а) ответ, скорее всего, имеет сложный вид, то есть не очень понятно, зачем его выписывать. Если для пункта б), то там из более простых соображений всё должно следовать (конечно, вероятность равна 1).

(9 Сен 0:55) falcao

А можете, пожалуйста,пояснить пукнт б) ?

(9 Сен 1:37) joker

Изначально был только пункт б)-- я подумал ,что сначала нужно найти зависимость от n ,а потом найти ее предел

(9 Сен 1:40) joker
10|600 символов нужно символов осталось
1

Конечно, пункт б) был проще, то есть не надо самостоятельно усложнять условие.

Обозначим через p(m) вероятность возврата к нулю из начальной конфигурации с m клетками. Ясно, что 1=p(0)>=p(1)>=p(2)>=... . Надо доказать, что все эти числа равны 1.

Выведем рекуррентные формулы. При m>=1 имеем p(m)=(1/4)p(m+1)+(5/12)p(m-1)+(1/3)p(m). Упрощая, имеем p(m)=(3/8)p(m+1)+(5/8)p(m-1), то есть p(m-1)-p(m)=(3/5)(p(m)-p(m+1)). Положим q(m)=p(m)-p(m+1). Поскольку p(k) не возрастает и ограничена снизу, она имеет предел к p. Из этого следует, что q(k) стремится к нулю. Если p(0) > p(1), то p(1)-p(2)=(5/3)a, где a=p(0)-p(1), и далее p(2)-p(3)=(5/3)^2a, и так далее, то есть p(k)-p(k+1)=(5/3)^{k}a. Такая последовательность стремится к бесконечности -- противоречие. Следовательно, p(1)=p(0)=1, и далее все q(k) равны нулю, то есть все p(k) равны 1.

Суть здесь в том, что 5/3 > 1, а эти числа получились из вероятностей 5/12 для уменьшения и 3/12 для увеличения.

ссылка

отвечен 9 Сен 21:50

@falcao: Большое спасибо!

(9 Сен 22:38) joker
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,954
×201

задан
8 Сен 23:34

показан
68 раз

обновлен
9 Сен 22:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru