Добрый день.

Есть задачи по теории групп.

Хотелось бы проверить, правильно ли я их решила.

  1. Доказать, что в классе сопряженности количество элементов делит порядок группы.

Доказательство: Все элементы в классе сопряженности, очевидно, имеют одинаковый порядок.Отсюда следует, что класс сопряженности - это подгруппа, а отсюда следует, что количество элементов в нем делит порядок группы. Я видела более сложное доказательство этого факта, с привлечением стабилизатора группы и факторизации,потому не уверена, что это верно.

  1. Найти все первообразные корни по модулю 23.

Решение: По факту надо найти все образующие мультипликативной группы Z 23. Она изоморфна аддитивной циклической группе Z22. А в ней f(22)=10 образующие элементов Соответственно, надо найти один образующий элемент а из группы Z23 и все остальные образующие будут a^k, где (22,k)=1. То есть к=3,5,7...21.И вопрос тут такой! Чтобы найти а, разложим Z22=Z11+Z2. Нам надо найти элемент порядка 11 и порядка 2, и а будет равно их произведению ( так 2 и 11 взаимно просты). Имеем, подбором, что 2 - элемент порядка 11, а 21 - порядка 2. Тогда 42=19 и а=19. Задача решена. Вопрос здесь один: без подбора можно в общем случае найти образующий элемент?

  1. Есть еще задача: решить уравнение x^2-1=0 в кольце Z143.

Решение: легко доказать, что 143 - простое число. Тогда (х-1)*(х+1)=143. Так как 143 простое, имеем: либо х-1=1, тогда х=2. Либо х+1=142, тогда х=142. Оба решения, действительно, удовлетворяет уравнению, а раз оно второй степени, то более 2 корней иметь не может. Прошу метров посмотреть и найти неточности,если они есть в моих решениях. Спасибо.

задан 9 Сен 13:53

изменен 9 Сен 13:59

10|600 символов нужно символов осталось
0

класс сопряженности - это подгруппа

Так никогда не бывает, за одним тривиальным исключением. Подгруппа содержит единицу, а она сопряжена только себе. Поэтому подгруппа может быть только для случая {e}. Конечно, доказательство тут основано на понятии стабилизатора. Оно совершенно стандартно, и другого, можно сказать, нет.

По поводу первообразных корней: один такой корень обычно находят подбором. То есть какие-то непосредственные вычисления нужны. Число p=23 специфично тем, что ни a=2, ни a=3 не годятся, а вот a=5 уже подходит. Нетрудно составить таблицу всех степеней a, и далее выделить все вычеты вида a^k, где k взаимно просты с p-1=22. Они дадут полный список.

Значение 19 сюда тоже войдёт, но его степени находить труднее, поэтому лучше брать список степеней 5. Его легко составлять и потому, что 5^2=25=2 (mod 23), и там элементы через два будут удваиваться: 1, 5, 2, 10, 4, ... .

Об уравнении x^2=1 mod 143: тот факт, что квадратное уравнение имеет не более двух корней, верен для уравнений над полем. Поскольку число 143 составное, кольцо вычетов над ним имеет делители нуля. И здесь решений может быть не два, а больше.

Прежде всего, про (x-1)(x+1) мы знаем, что оно делится на 143. Утверждать, что оно равно 143, мы не можем. Рассуждать надо так: делимость на 143 равносильна делимости на 11 и на 13. Это простые числа, то есть x=+-1 (mod 11) и x=+-1 (mod 13). Возникает 4 случая, то есть будет 4 корня. (Каждый из случаев даст ровно одно значение ввиду китайской теоремы об остатках.) Помимо x=1 и x=-1=142, надо рассмотреть ещё два. А именно, x=1 (mod 11), x=-1 (mod 13), что даёт x=12, а также случай значений -1 и 1 соответственно, где получится x=-12=131 (mod 143).

ссылка

отвечен 9 Сен 14:57

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,019

задан
9 Сен 13:53

показан
41 раз

обновлен
9 Сен 14:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru