Как доказать, что количество способов разбить первые $%n$% чисел натурального ряда на пары так, чтобы разности большего и меньшего чисел во всех парах были одинаковы, равно количеству чётных делителей числа $%n$%?

задан 9 Сен 16:08

10|600 символов нужно символов осталось
2

По условию, n=2k чётно. Количество чётных делителей числа 2k равно количеству делителей числа k. Пусть d делит k. Рассмотрим разбиение на пары по принципу (1,d+1), (2,d+2), ... , (d,2d), и далее продолжим периодически, что возможно, так как 2d делит 2k. Для каждого d|k получаем своё разбиение.

Обратно, 1 находится в паре с d+1, и каждое i<=d находится в паре с i+d, так как оно является меньшим из чисел. Получаем те пары, которые описаны выше. Это даёт разбиение на пары для чисел от 1 до 2d. Первое число, которое не имеет пары, равно 2d+1, и тогда оно находится в паре с 3d+1. Аналогично имеем, что для каждого i<=d число 2d+i является меньшим числом пары, а большим будет 3d+i, что приводит к разбиению чисел от 1 до 4d, и так далее. Тем самым, все разбиения этим описаны, и получается, что n=2k делится на 2d.

Эффект разбиения тут достаточно предсказуемый, и потому не слишком интересный.

ссылка

отвечен 9 Сен 16:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,296
×35
×23
×19
×12

задан
9 Сен 16:08

показан
38 раз

обновлен
9 Сен 16:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru