Добрый день.

Есть задача на фактор-кольца по двустороннего идеалу:

Двусторонний идеал I кольца R порождён всеми элементами вида x^2, где x ∈ R. Докажите,что кольцо классов вычетов R/I антикоммутативно: ab = −ba для всех a, b ∈ R/I.

Буду благодарен за идеи, приводящие к решению или решение.

задан 9 Сен 21:44

1

В факторкольце R/I выполняется тождество X^2=0, где 0 обозначает нулевой элемент факторкольца. Всякое такое факторкольцо антикоммутативно: 0=(a+b)^2=a^2+b^2+ab+ba=ab+ba.

(9 Сен 21:52) falcao

Спасибо большое. Опять я не увидел изящного решения.

(9 Сен 21:58) Cat2021

@Cat2021: можете тогда заодно решить ещё одно похожее упражнение. Оно достаточно известно, и на форуме когда-то звучало. Факторкольцо брать не будем, так как оно здесь не нужно. Пусть кольцо удовлетворяет тождеству X^2=X. Доказать, что оно коммутативно.

(9 Сен 22:45) falcao

Пусть a и b - произвольные элементы кольца. Тогда а+b=(а+b)^2=a^2+ab+ba+b^2 (такое представление возможно в виду свойства дистрибутивности в любом кольце). По условию, a^2=a b^2=b. Тогда ab=-bа и кольцо антикоммутативно? Хотя по условию задачи должно быть коммутативно. Это у меня ошибка?

(10 Сен 15:17) Cat2021

@Cat2021, в любом кольце операция сложения коммутативна. Нужно доказать коммутативность умножения

(10 Сен 15:27) haosfortum

Может ли быть ещё так,что ba=o в этом кольце. Тогда оно одновременно и коммутативно,и антикоммутативно. Одно не исключает другое. (ba)^2=baОтсюда, видно, что ba=0 проходит, но нет доказательства,что для всех a и b это так.

(10 Сен 15:30) Cat2021

Я понимаю, что по сложению коммутативно. Я по умножению и исследовал коммутативность. Пока пришел к антикоммутативности,что не исключает коммутативности.

(10 Сен 15:31) Cat2021

a-b=(a-b)^2=a-ab-ba+b. Опять антикоммутативность.

(10 Сен 15:37) Cat2021

@Cat2021: из ab+ba=0 следует aa+aa=0, то есть a+a=0. Это значит, что кольцо имеет характеристику 2, и -a=a. Поэтому все минусы заменяем на плюсы, и из антикоммутативности выводим коммутативность.

(10 Сен 15:50) falcao

Спасибо, теперь ясно. Я ещё ранее доказывал,что если в группе элемент сам себе обратен, то группа абелева. В аддитивной группе этого кольца как раз каждый элемент сам себе обратен, но это далеко не в любой абелевой группе так. А вообще, существует ли такое кольцо, о котором мы говорим? Как оно устроено?

(10 Сен 15:53) Cat2021

@Cat2021, пример банальный, но кольцо $%\mathbb{Z}_2$% удовлетворяет данному тождеству

(10 Сен 20:31) haosfortum

@Cat2021: таких колец много. Самый простой пример -- из нуля и единицы, как это было указано. Если в таком кольце есть 1, то оно называется булевым кольцом. Более широкий класс примеров получается так. Берём подмножества любого исходного множества X, и вводим две операции: A+B (симметрическая разность) и AB (пересечение). Аксиомы кольца легко проверяются. Тождество AA=A при этом очевидно.

(10 Сен 21:34) falcao
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×98

задан
9 Сен 21:44

показан
60 раз

обновлен
10 Сен 21:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru