Докажите, что $$(1-x)(1-y)(2x+2y-1) \leq \frac{1}{4} $$ при $% 0 \leq x, y < 1$%.

задан 26 Июл '13 13:20

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь можно сделать замену переменных $%u=1-x$%, $%v=1-y$%. При этом $%0\le u,v\le1$%, а неравенство принимает вид $%4uv(3-2u-2v)\le1$%. Если $%u+v\ge3/2$%, то неравенство очевидно. Пусть далее $%u+v < 3/2$%. Воспользуемся тем, что $%4uv\le(u+v)^2$%. С учётом положительности множителя $%3-2u-2v$%, достаточно будет установить, что $%t^2(3-2t)\le1$%, где $%t=u+v$%, при $%t\in[0,3/2)$%. Многочлен $%2t^3-3t^2+1$% обладает корнем $%t=1$%, и его можно поделить на $%t-1$%, разлагая на множители: $%(t-1)(2t^2-t-1)$%. Второй сомножитель здесь равен $%(t-1)(2t+1)$%, откуда окончательно получаем $%2t^3-3t^2+1=(t-1)^2(2t+1)\ge0$% при указанных выше ограничениях. Тем самым, $%t^2(3-2t)\le1$%, что и требовалось.

ссылка

отвечен 26 Июл '13 13:44

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если $%2x+2y-1\le 0,$% то неравенство очевидно. Докажем неравенство при $%2x+2y-1>0$% $$(1-x)(1-y)(2x+2y-1) \leq \frac{1}{4}\Leftrightarrow 4(1-x)(1-y)(2x+2y-1) \leq 1 \Leftrightarrow $$ $$\Leftrightarrow (2-2x)(2-2y)(2x+2y-1) \leq 1 .$$ Докажем последнее неравенство.Применим неравенство Коши для положительных чисел $%2-2x,2-2y$% и $%2x+2y-1.$% $$\sqrt[3]{(2-2x)(2-2y)(2x+2y-1)}\leq \frac{(2-2x)+(2-2y)+(2x+2y-1)}3\Leftrightarrow $$

$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(2-2x)(2-2y)(2x+2y-1)}\leq \frac 33=1 \Leftrightarrow (2-2x)(2-2y)(2x+2y-1)\leq 1. $$ Что требовалось доказать.

ссылка

отвечен 26 Июл '13 16:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×217

задан
26 Июл '13 13:20

показан
493 раза

обновлен
26 Июл '13 16:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru