Докажите, что (n^2)! делится на n!^(n+1)

Прошу прощения, если неправильно оформил, но, вроде, все более чем понятно.

задан 11 Сен 12:15

10|600 символов нужно символов осталось
0

Для того, чтобы доказать, что одно натуральное число делится на другое, достаточно проверить, что для любого простого $%p$%, показатель степени при $%p$% в каноническом разложении первого числа, не меньше показателя для второго числа.

Пусть $%p$% простое; положим $%p^k\le n < p^{k+1}$%. Тогда у $%n!$% показатель степени при $%p$% равен $$s=\left[\frac{n}p\right]+\left[\frac{n}{p^2}\right]+\cdots+\left[\frac{n}{p^k}\right],$$ согласно известной формуле. Покажем, что для числа $%(n!)^2$%, соответствующий показатель не меньше $%(n+1)s$%.

Этот показатель не меньше, чем $$\left[\frac{n^2}p\right]+\left[\frac{n^2}{p^2}\right]+\cdots+\left[\frac{n^2}{p^k}\right]+\left[\frac{n^2}{p^{k+1}}\right]+\left[\frac{n^2}{p^{k+2}}\right]+\cdots+\left[\frac{n^2}{p^{2k}}\right].$$ Воспользуемся очевидным неравенством $%[nx]\ge n[x]$% для каждого из первых $%k$% слагаемых суммы, получая оценку снизу $%ns$%. Для каждого из $%k$% последних слагаемых той же суммы, применим неравенство $%n\ge p^k$%, и вместе они дадут не меньше $%s$%, откуда следует требуемая оценка.

ссылка

отвечен 11 Сен 12:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×879
×860

задан
11 Сен 12:15

показан
45 раз

обновлен
11 Сен 12:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru