Добрый день.

Есть 2 задачи, наверно, они покажутся легкими над полями с p^n, где p- просто число.

  1. В поле из 25 элементов равны ли элементы 3^-1 и 18^-1?

Я понимаю, что в этом поле для любого эдемента x верно уравнение x^25=x. Нужно ли здесь его использовать? С другой стороны, если предположить, что 3^-1=18^-1, то, переходя к обратным, имеем 3=18, что неверно. По-моему, в моем решении что-то не то...

  1. Пусть в поле из 169 элементов верно равенство x=2y. Обязательно ли 12x=37y?

Имеем: 24y=37y. Это возможно, например, при y=0, но не обязательно. Как решить эту задачу?

Спасибо.

задан 11 Сен 19:44

изменен 11 Сен 19:45

@Cat2021, вам известно такое понятие, как характеристика поля?

(11 Сен 20:34) spades

@Cat2021: все конечные поля имеют порядок p^n, где n простое. Для заданного значения порядка, такое поле с точностью до изоморфизма ровно одно. В первом 5=0, во втором 13=0. Упражнения по этой причине звучат глуповато (не знаю, кто такое мог придумать).

Я, кстати, 3^-1 принял за опечатку, по не осознал, что это обратный: 3^(-1).

(11 Сен 21:40) falcao

Да, это порядок 1 в аддитивной группе поля. Если порядок 1 бесконечен, то говорят о поле нулевой характеристики. Если характеристика конечна, то она - простое число. Например,у полей Z_p - характеристика p, так как 1+1+...+1=0 (mod p). Я также знаю, что в поле характеристики p есть тождество (а+b)^p= a^p+b^p. Также знаю, что все элементы поля с p^n элементами это корни многочлена x^(p^n) - x. Но как это все применить здесь?

(11 Сен 21:45) Cat2021

13x=39y=0. Потом вычитайте. Совсем не хотите думать

(11 Сен 21:56) spades

@Cat2021: тут всё проще простого. В поле порядка p^n верно равенство p=0. Вы определения знаете, только не осознали, что они реально означают :)

(11 Сен 21:59) falcao

@falcao, Вы опечатались, p простое, а не n

(11 Сен 21:59) haosfortum

Проблема в том, что поле, в котором p^n элементов не изоморфно Z_p^n. И наглядно мне трудно представить эти поля. Мне строго непонятно, почему в поле p^n характеристика р. Я знаю, что характеристика поля может либо 0, либо простое и для Z_p мне понятно, что характеристика равна p. Я также знаю, что поле Галуа GF(p^n) одно с точностью до изоморфизма. Для поля же GF(p^n) характеристика равна p, я это скорее запомнил, чем понял. Мне строго это непонятно... Тогда по первой задаче 18=3 (mod 5), и задача элементарна. Тогда числа равны. По второй же тоже сразу очевидно, 12=-1, 37=-2. И все очевидно.

(11 Сен 22:01) Cat2021

Прошу прощения,если кому-то показалась задача простая, я предвидел решение

(11 Сен 22:04) Cat2021

@Cat2021: Вы пропустили какие-то начальные сведения о конечных полях. Прежде всего, в конечном поле (представлять это не надо -- поля могут быть устроены сложно) элемент 1 имеет конечный порядок. Это число простое для случая поля ввиду (m1)(n1)=mn1, и его можно обозначить через p. Значит, поле содержит копию Z_p. Далее, поле будет векторным пространством над Z_p некоторой размерности n, и тогда его порядок равен p^n. Значит, поле порядка p^n (других порядков не бывает) имеет характеристику p. С этих соображений начинается общая теория.

(11 Сен 22:13) falcao

Да, спасибо, теперь устранено,то, что упущено, благодаря Вам. Всё-таки я всегда представлял устройство этих полей как устройство фактор колец по неприводимому над полем Z_p многочлену. Например, Z5[x]/(x^2-x+1) - это поле GF(25). И оно одно с точностью до изоморфизма.

(15 Сен 15:44) Cat2021

@Cat2021: это верно, но наличие Z_p в качестве поля коэффициентов уже говорит о том, что характеристика такого поля равна p. А если поле абстрактное, то из факта единственности следует, что оно именно так и устроено.

(15 Сен 17:48) falcao

Спасибо большое.

(16 Сен 15:25) Cat2021
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,019

задан
11 Сен 19:44

показан
83 раза

обновлен
16 Сен 15:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru