Добрый день. Есть задача решить сравнение x^2+14=0 (mod 483) или хотя бы найти количество его решений в кольце Z_483. Как я рассуждаю: 483=3х7х23. Далее, я хочу найти такое число -а^2, что -а^2=14 (mod 483). Я пыталась подобрать это число,путем вычитания 483 из 14 несколько раз и проверки, является ли число квадратом. Но этот процесс затянулся, да и был трудоемким. Если бы мне удалось найти его,то получилось бы x^2-a^2=0 (mod 3х7х23). И дальнейшее мне очевидно. Вообще, есть ли какие-то более рациональные методы, или я не туда мыслю... В задании сказано найти количество решений, но я хочу найти и сами решения. Спасибо!

задан 12 Сен 14:35

изменен 12 Сен 14:37

Тут не надо ничего выдумывать и заниматься самодеятельностью, а нужно почитать теорию квадратичных сравнений, описанных практически во всех учебниках по ТЧ. В случае, если в разложении модуля входят простые только в первой степени - все совсем просто. Находите решение по каждому простому модулю - их либо ноль, либо два, либо 1, если а=0. Потом, если есть решения по всем простым числам, то конструируете итоговое решение с помощью китайской теоремы. В итоге должно получиться 4 решения (-14 является квадратичным вычетом по всем трём простым)

(12 Сен 14:54) spades

Спасибо. Сделаю. Выложу решение.

(12 Сен 14:56) Rose2021

@Rose2021: это задача на китайскую теорему, и там число решений найти проще нежели сами решения. Там сразу понятно, что решений будет 4. А если их искать подбором, то надо к -14 несколько раз прибавлять 483, пока не получится точный квадрат. Первый такой случай -- число 2401. Но все решения этим путём находить плохо, а через теорему -- достаточно легко, решая систему сравнений.

(12 Сен 18:48) falcao

Спасибо огромное. Я как раз говорил про подбор,то есть тоже возможно, но это долго сидеть. Про теорему китайскую уже понял. Обязательно вышлю полное решение, попробую найти все решения.

(12 Сен 18:57) Rose2021

@Rose2021: здесь расчёт был на китайскую теорему, и решать лучше именно так, хотя можно найти одно решение подбором, и записать сравнение как (x-49(x+49)=0 mod 483. Сразу ясно, что x=7y, откуда (y-7)(y+7) делится на 3 и на 23, откуда возникает 4 варианта в зависимости от того, какой именно сомножитель делится. Два значения очевидны (7 и -7), два других противоположны, и достаточно найти одно. Подходит y=53.

(12 Сен 20:04) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×879
×860

задан
12 Сен 14:35

показан
65 раз

обновлен
12 Сен 20:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru