$%\forall k \;\;\;\lim\limits_{n \to \infty} x_k^{(n)}=:x_k$%

Мне не очень понятна запись: $%x_k^{(n)}$%. Правильно ли я понимаю, что $%n$% - номер последовательности в метрическом пространстве, а $%k$% - номер члена последовательности?

задан 12 Сен 21:43

изменен 12 Сен 21:44

А есть контекст? Откуда эта запись?

(12 Сен 21:46) haosfortum

@haosfortum, используется при доказательстве факта, что c0 -полное метрическое пространство

(12 Сен 22:03) shichin

Если судить по переменной в пределе, то наоборот, хотя подобная запись означает, как вы и сказали

(12 Сен 22:05) spades

@shichin: это верхний индекс. Он не обязателен -- могли написать x_{nk} или x_{kn}. Я считаю выбранный способ записи не очень удачным, хотя он допустим. Числа тут могут принимать любые значения.

(12 Сен 22:34) falcao

@shichin, без контекста тут рассуждать бессмысленно

(12 Сен 22:53) spades

$%c_0$%

$%x=(x1\;\;x2...xk...), \;\; \lim\limits_{k \to \infty} x_k=0$%

$%\rho(x,y)=max_{k \geq 1} |x_k-y_k|$%

Пусть $%\{x^{(n)}\}_{n=1}^{\infty}$% - фундаментальна в $%c_0$%:

$%\forall \;\;\varepsilon>0 \;\;\exists N :\;\; max_{k \geq 1}|x_k^{(n)}-x_k^{(m)}|<\varepsilon$%

(12 Сен 23:04) shichin

@shichin, последняя строчка не без ошибок - пропущено $%\forall m,n >N$%. Ваше предположение в стартовом посте верно

(12 Сен 23:15) spades

Почему мы рассматриваем разность членов разных последовательностей, а не членов одной последовательности?

(12 Сен 23:33) shichin

Последовательность - это элемент пространства $%c_0$%. И мы рассматриваем последовательность этих элементов. И фундаментальность определяется для этой последовательности из последовательностей.

(12 Сен 23:54) spades

@shichin: чтобы удобнее представлять себе ситуацию, рассмотрите матрицу с бесконечным числом строк и столбцов, заполненную числами. Каждая строка -- последовательность. Всё вместе -- последовательность, состоящая из элементов пространства, которое состоит из последовательностей.

Между собой сравниваются последовательности чисел с номерами n и m, то есть два элемента простраства. Расстояние между ними равно sup (а не max) расстояний между k-ми членами последовательностей.

(12 Сен 23:57) falcao
1

@falcao, в c0 можно писать max вместо sup, т.к. максимум там достигается.

@shichin, почти год назад отвечал.

(13 Сен 5:12) caterpillar

@caterpillar: у меня было такое подозрение, до я до конца не вдумался. Конечно, там можно писать max.

(13 Сен 6:20) falcao

Можно ли где-то посмотреть какой-нибудь пример?

(13 Сен 13:41) shichin

Возьмите $%x_n=(\frac{1}{n},\frac{1}{n},...,\frac{1}{n},0,0,...)$%, где дробей n штук. Запишите $%x_1,x_2,x_3$%,... друг под дружкой. Первые координаты дадут $%x_1^{(n)}$%, вторые -- $%x_2^{(n)}$%,...

(13 Сен 13:47) caterpillar

Вы неправильно подставили. Вроде чётко же написано, что дроби там одинаковые... Да, это элементы последовательности, лежащей в c0. Каждый член последовательности -- сам последовательность.

(13 Сен 14:13) caterpillar

Да, спасибо большое. Перепутал с другой последовательностью

(13 Сен 15:18) shichin

@shichin: сами последовательности в принципе могут быть любыми, но если мы исследуем c0, то по каждой из строк должно быть стремление к нулю. При конкретных рассмотрениях, можно самому задавать числа, извлекая из этого какую-то информацию.

(13 Сен 15:27) falcao

@falcao, спасибо

(13 Сен 17:34) shichin
показано 5 из 18 показать еще 13
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,617

задан
12 Сен 21:43

показан
120 раз

обновлен
13 Сен 18:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru