При каких значениях $%b$% система уравнений $$\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 2\\ |y| - x = b \end{array} \right.$$ имееет ровно три решения?

Скажите, пожалуйста, что тут надо делать.

задан 27 Июл '13 14:22

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь проще всего графики нарисовать, и посмотреть, в скольких точках они пересекаются. Можно для удобства поменять ролями $%x$% и $%y$%, так как количество решений от этого не зависит. Тогда смотрим на окружность $%x^2+y^2=2$% и график функции $%y=|x|-b$%. Это значит, что мы берём сначала график $%y=|x|$% и двигаем его вверх и вниз, отслеживая все случаи, когда точек пересечения ровно три. Это очень просто выявляется.

Можно также учесть симметрию в том смысле, что в исходных координатах $%y$% можно менять на $%-y$%, и тогда необходимое условие будет состоять в том, что имеется решение с $%y=0$%. Но потом всё равно нужен некоторый дополнительный анализ. Поэтому того, что написано в предыдущем абзаце, в принципе хватает, а это соображение можно использовать просто для контроля.

ссылка

отвечен 27 Июл '13 15:02

изменен 27 Июл '13 15:07

а, ну конечно же! Большое спасибо @ЛисаА и @falcao!

(27 Июл '13 15:37) Silence

@ЛисаА живёт этажом выше.

(29 Июл '13 22:46) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
3

$%\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 2\\ |y| - x = b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {(x+b)^2} = 2\\ |y| =x + b \end{array} \right. $%

Введем обозначение $% x+b=t $% , получим систему $%\left\{ \begin{array}{l} {(t-b)^2} + {t^2} = 2\\ |y|=t \end{array} \right. .$% Количество решений этой системы равно количеству решений исходной системы. Будет ровно 3 решений, если первое уравнение $% 2t^2-2bt+b^2-2=0 $% будет иметь 2 решения, одино-положительное,а другое $%0$%. Применим теорему Виета

$%\left\{ \begin{array}{l} b>0\\ b^2-2=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow b=\sqrt2.$%

ссылка

отвечен 28 Июл '13 0:10

изменен 29 Июл '13 21:56

1

Хорошее аналитическое решение! Интересно, что я обычно сам предпочитаю аналитические способы, но здесь как-то сразу захотелось решить именно графически.

(28 Июл '13 0:20) falcao

Скорее всего, именно это решение и имели в виду авторы задачника, когда помещали задачу в раздел, в котором подразумевается использование симметрий. Спасибо!

(29 Июл '13 21:47) Silence
10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

ссылка

отвечен 28 Июл '13 11:43

изменен 28 Июл '13 11:47

И вам спасибо :)

(29 Июл '13 21:47) Silence
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×388
×256

задан
27 Июл '13 14:22

показан
1433 раза

обновлен
29 Июл '13 22:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru