Скажите, пожалуйста, что тут надо делать. задан 27 Июл '13 14:22 
Silence |
|
Здесь проще всего графики нарисовать, и посмотреть, в скольких точках они пересекаются. Можно для удобства поменять ролями $%x$% и $%y$%, так как количество решений от этого не зависит. Тогда смотрим на окружность $%x^2+y^2=2$% и график функции $%y=|x|-b$%. Это значит, что мы берём сначала график $%y=|x|$% и двигаем его вверх и вниз, отслеживая все случаи, когда точек пересечения ровно три. Это очень просто выявляется. Можно также учесть симметрию в том смысле, что в исходных координатах $%y$% можно менять на $%-y$%, и тогда необходимое условие будет состоять в том, что имеется решение с $%y=0$%. Но потом всё равно нужен некоторый дополнительный анализ. Поэтому того, что написано в предыдущем абзаце, в принципе хватает, а это соображение можно использовать просто для контроля. отвечен 27 Июл '13 15:02 
falcao |
|
$%\left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 2\\ |y| - x = b \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {(x+b)^2} = 2\\ |y| =x + b \end{array} \right. $% Введем обозначение $% x+b=t $% , получим систему $%\left\{ \begin{array}{l}
{(t-b)^2} + {t^2} = 2\\ |y|=t
\end{array} \right. .$% Количество решений этой системы равно количеству решений исходной системы.
Будет ровно 3 решений, если первое уравнение $% 2t^2-2bt+b^2-2=0 $% будет иметь 2 решения, одино-положительное,а другое $%0$%. Применим теорему Виета $%\left\{ \begin{array}{l} b>0\\ b^2-2=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow b=\sqrt2.$% отвечен 28 Июл '13 0:10 
ASailyan 1
Хорошее аналитическое решение! Интересно, что я обычно сам предпочитаю аналитические способы, но здесь как-то сразу захотелось решить именно графически.
(28 Июл '13 0:20)
falcao
Скорее всего, именно это решение и имели в виду авторы задачника, когда помещали задачу в раздел, в котором подразумевается использование симметрий. Спасибо!
(29 Июл '13 21:47)
Silence
|
