$$X_1, ...,X_n \text{- н.о.р. и имеют }N(0,\sigma^2) $$ $$Y= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |{X_i}|, Z= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {X_i}^2, T= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{Z}{Y}$$ Найти предел сходимости по распределению выражения $$\sqrt{n}(T-\sigma)$$

задан 13 Сен 19:10

@falcao помоги, ты тут очень нужен!

(13 Сен 20:36) omnomnom

@falcao, лучший!...........................................................................................................

(13 Сен 21:24) omnomnom
10|600 символов нужно символов осталось
1

По закону больших чисел Колмогорова, $%Y$% почти наверное сходится к матожиданию модуля $%X_i$%. С помощью вычисления интеграла, имеем $%\sigma\sqrt{\frac2{\pi}}$%. Попутно можно заметить, что $%Z$% сходится почти наверное к $%\sigma^2$% по той же причине.

Теперь заметим, что $$\sqrt{n}(T-\sigma)=\sqrt{n}\left(\sqrt{\frac2{\pi}}\frac{\sum_iX_i^2}{\sum_i|X_i|}-\sigma\right)=\frac{\frac1{\sqrt{n}}\sum_i(\sqrt{\frac2{\pi}}X_i^2-\sigma|X_i|)}{\frac1n\sum_i|X_i|}$$

Здесь числитель сходится к нормальному распределению, согласно ЦПТ, а знаменатель сходится почти наверное к положительной константе. Значит, частное будет также сходиться к нормальному распределению. Осталось вычислить его параметры. Для этого достаточно знать матожидание и дисперсию для $%\sqrt{\frac2{\pi}}X_i^2-\sigma|X_i|$%. Легко видеть, что матожидание равно нулю. Тогда дисперсия будет равна матожиданию квадрата этой случайной величины.

Плотность для модуля нормального распределения нам известна, и тогда матожидание функции от случайной величины вычисляется по стандартной формуле. Технические детали и подсчёт интегралов опускаем. Дисперсия получается равна $%\frac{\pi-2}{2\pi}\sigma^4$%. Осталось разделить эту величину на квадрат константы, к которой сходится знаменатель дроби почти наверное. Итого имеем, что $%\sqrt{n}(T-\sigma)$% сходится по распределению к $%{\cal N}(0,\frac{\pi-2}4\sigma^2)$%.

ссылка

отвечен 13 Сен 21:16

изменен 13 Сен 22:29

Здесь дисперсия равна (pi-2)s^4/pi(лишняя двойка в знаменателе) И ответ в итоге: случайная величина сходится к N(0,(pi-2)s^2/2)

(16 Сен 10:07) qoiro

@qoiro: вполне возможно. Я вычислял интеграл при помощи Maple, мог где-то лишний раз на 2 разделить, или наоборот. Обычно я в таких случаях делаю примечание, что надо перепроверять вычисления.

(16 Сен 12:17) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,954
×181
×175
×137
×27

задан
13 Сен 19:10

показан
144 раза

обновлен
16 Сен 12:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru