|
$$X_1, ...,X_n \text{- н.о.р. и имеют }N(0,\sigma^2) $$ $$Y= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |{X_i}|, Z= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n {X_i}^2, T= \sqrt{\frac{2}{\pi}}\frac{Z}{Y}$$ Найти предел сходимости по распределению выражения $$\sqrt{n}(T-\sigma)$$ задан 13 Сен '20 19:10 
qoiro |
|
По закону больших чисел Колмогорова, $%Y$% почти наверное сходится к матожиданию модуля $%X_i$%. С помощью вычисления интеграла, имеем $%\sigma\sqrt{\frac2{\pi}}$%. Попутно можно заметить, что $%Z$% сходится почти наверное к $%\sigma^2$% по той же причине. Теперь заметим, что $$\sqrt{n}(T-\sigma)=\sqrt{n}\left(\sqrt{\frac2{\pi}}\frac{\sum_iX_i^2}{\sum_i|X_i|}-\sigma\right)=\frac{\frac1{\sqrt{n}}\sum_i(\sqrt{\frac2{\pi}}X_i^2-\sigma|X_i|)}{\frac1n\sum_i|X_i|}$$ Здесь числитель сходится к нормальному распределению, согласно ЦПТ, а знаменатель сходится почти наверное к положительной константе. Значит, частное будет также сходиться к нормальному распределению. Осталось вычислить его параметры. Для этого достаточно знать матожидание и дисперсию для $%\sqrt{\frac2{\pi}}X_i^2-\sigma|X_i|$%. Легко видеть, что матожидание равно нулю. Тогда дисперсия будет равна матожиданию квадрата этой случайной величины. Плотность для модуля нормального распределения нам известна, и тогда матожидание функции от случайной величины вычисляется по стандартной формуле. Технические детали и подсчёт интегралов опускаем. Дисперсия получается равна $%\frac{\pi-2}{2\pi}\sigma^4$%. Осталось разделить эту величину на квадрат константы, к которой сходится знаменатель дроби почти наверное. Итого имеем, что $%\sqrt{n}(T-\sigma)$% сходится по распределению к $%{\cal N}(0,\frac{\pi-2}4\sigma^2)$%. отвечен 13 Сен '20 21:16 
falcao Здесь дисперсия равна (pi-2)s^4/pi(лишняя двойка в знаменателе) И ответ в итоге: случайная величина сходится к N(0,(pi-2)s^2/2)
(16 Сен '20 10:07)
qoiro
|
@falcao помоги, ты тут очень нужен!
@falcao, лучший!...........................................................................................................