$% \frac{\sqrt{2x^2-1}- \sqrt{x^2+5x-6} }{|x^2-3|-|x+7|} \leq 0 $% Моё решение: это неравенство равносильно совокупности двух систем(знака совокупности не нашёл поэтому пишу только системы,считаем их в совокупности): $%1)\begin{cases}2x^2-1-x^2-5x+6 \geq 0 &\\|x^2-3|-|x+7| < 0& \end{cases}$% $%2)\begin{cases}2x^2-1-x^2-5x+6 \leq 0 &\\|x^2-3|-|x+7| > 0& \end{cases}$% ОДЗ: $%3) \begin{cases}2x^2-1\geq0 &\\x^2+5x-6\geq 0 \Leftrightarrow (x+6)(x-1)\geq 0& \end{cases} \Leftrightarrow x \in(- \infty ;-6] \cup [1;+\infty)$%

Из первых двух систем первое выражение: $%x^2-5x+5\geq 0(\leq 0)корни: \frac{5+ \sqrt{5} }{2} ; \frac{5- \sqrt{5} }{2} $% оно $%\geq 0$% когда $%x \in(- \infty ;\frac{5- \sqrt{5} }{2}]\cup[\frac{5+ \sqrt{5} }{2};+ \infty)$% и $%\leq 0 когда x \in(\frac{5- \sqrt{5} }{2} ;\frac{5+ \sqrt{5} }{2})$%

Отсюда вторая система не имеет решений,т.к.при таких $%x$% модульное выражение никогда не будет больше 0. Первая система: $%|x^2-3|-|x+7| < 0\Leftrightarrow(x^2-3)^2< x^2+14x+49 $% И тут проблема, дальше методом подбора подбирать иксы, чтобы это неравенство выполнялось?Если да, то у меня получилось c учетом ОДЗ $%x \in {\frac{5- \sqrt{5}}{2}}[\frac{5+ \sqrt{5} }{2};3.7]$% Если что-то неправильно подскажите, также я может что-то лишнее учел, если можно решить покороче, объясните как пожалуйста )

задан 28 Июл '13 11:10

изменен 29 Июл '13 12:29

Deleted's gravatar image


126

Модульное выражение не равно 0,это выполняется на всем $%x\in(-\infty;-6]\cup[1;+\infty)$% при этом оно должно быть меньше 0,это выполняется в ОДЗ от $%x\in[1; \frac{5- \sqrt{5} }{2}]\cup[\frac{5+ \sqrt{5} }{2}; \frac{1+ \sqrt{41} }{2} ] $% верно? (число $% \frac{1+ \sqrt{41} }{2} $% я случайно обнаружил когда расписывал модули при $%x\in(-\infty;-6]$% оно и равно 3,7.

(29 Июл '13 11:35) Dragon65

Чтобы Вам было проще, найдите значения, при которых знаменатель равен нулю. Для этого нужно решить два уравнения: $%x^2-3=x+7 ;x^2-3=-(x+7).$% Далее решите систему $%\begin{cases}2x^2-1\ge0,\ x^2+5x-5\ge0 \end{cases}.$% Из полученной области, определяемой системой неравенств, удалите те решения предыдущих уравнений, которые в нее попадают. Вы получите ОДЗ. А дальше можно следовать указаниям, которые предложены в моем ответе.

(29 Июл '13 11:57) Anatoliy

Dragon65, ответ у Вас верный только выражение с корнем из 41 не входит в него( знаменатель-0)

(29 Июл '13 15:32) epimkin

Большое спасибо всем!

(29 Июл '13 20:40) Dragon65
10|600 символов нужно символов осталось
2

Вы нашли часть ОДЗ неравенства (должен быть знаменатель не равен нулю). $$ОДЗ:\begin{cases}2x^2-1\ge0,\\x^2+5x-6\ge0,\\\vert x^2-3\vert-\vert x+7\vert \ne 0.\end{cases}$$ Далее найдите нули числителя: $%\sqrt{2x^2-1}-\sqrt{x^2+5x-6}=0.$% Корнями этого уравнения, которые попадают в ОДЗ, разбейте ОДЗ на промежутки. На каждом из этих промежутков, используя метод интервалов, определите знак выражения, стоящего в левой части исходного неравенства.

ссылка

отвечен 28 Июл '13 12:13

10|600 символов нужно символов осталось
4

Можно так

alt text

ссылка

отвечен 28 Июл '13 14:40

изменен 28 Июл '13 23:43

ASailyan's gravatar image


15.4k727

Хорошая идея!

(28 Июл '13 15:12) ASailyan

Во-первых ОДЗ остается; во - вторых умножение на сумму требует проверки на неравенство нулю; в - третьих - преобразования; в-четвертых все-таки метод интервалов (или же еще хуже системы неравенств).

(28 Июл '13 16:28) Anatoliy

Решил двумя способами, ответы одинаковые получились

(28 Июл '13 19:02) epimkin

В этом случае суммы не равны нулю, поэтому ответы должны совпадать. Но, если суммы равны нулю, то такой вариант усложнит решение.

(28 Июл '13 19:16) Anatoliy
1

@epimkin решение правильное, потому что вы умножали обе части неравенства с выражением, которое определено и положительно в ОДЗ. Несомненно,что хороший метод.

(28 Июл '13 20:40) ASailyan

Речь идет не о правильности, а об эффективности, универсальности, времени решения. В предыдущем моем комментарии я указал причины. Кстати, с такими ситуациями мне приходится встречаться в процессе обучения математике молодых людей. На замечание, что это можно сделать проще, некоторые из них отвечают, что это же верно. В этом случае я "списываю" на юношеский максимализм.

(28 Июл '13 22:40) Anatoliy
1

Я понимаю, но, на мой взгляд, этот метод здесь проще всего. Хотя на вкус и цвет...

(28 Июл '13 22:59) epimkin

А что даст этот "модный" метод, например, для неравенства $% \frac{\sqrt{x^2-1}- \sqrt{x^2+5x-6} }{|x^2-2x|-|x-2|} \leq 0 $%?

(29 Июл '13 10:37) Anatoliy

Анатолий, я сделал Ваш пример, только не знаю, как картинку в комментарий вставить

(29 Июл '13 15:33) epimkin

http://s018.radikal.ru/i527/1307/0d/95450f9ddd9f.jpg

Получилось так.С единицей не знаю, что делать

(29 Июл '13 16:29) epimkin

При $%x=1$% знаменатель дроби обращается в ноль. Ясно, что она в ответ не должна входить. (Это я по поводу примера, предложенного @Anatoliy.)

(29 Июл '13 18:23) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
2

Я бы решал следующим образом:

Найдём все интервалы, в которых модули определяются однозначно. Это $%(-\infty,-7),[-7,-\sqrt 3),[-\sqrt 3,\sqrt 3), [\sqrt 3, +\infty)$%.

Пусть $%x\in(-\infty,-7)$%. Тогда неравенство принимает вид:

$$\frac{\sqrt{2x^2-1}-\sqrt{x^2+5x-6}}{x^2+x+4}\leq0$$, которая решается довольно легко. Далее повторяете то же самое для каждого из оставшихся интервалов.

ссылка

отвечен 28 Июл '13 11:23

изменен 28 Июл '13 11:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×331
×72

задан
28 Июл '13 11:10

показан
6192 раза

обновлен
29 Июл '13 20:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru