Подскажите,как решить это неравенство $$\text{arccos } 3x + \text{arcsin} (x+1) \leq \frac{7\pi}{6}$$

Я правильно понимаю, что нужно рассмотреть 3 случая ,или есть способ покороче?

задан 13 Сен 23:26

10|600 символов нужно символов осталось
3

Легко видеть, что $%x\in[-\frac13,0]$%. Отсюда ясно, что первое слагаемое находится между $%\frac{\pi}2$% и $%\pi$%, а второе между $%\frac{\pi}6$% и $%\frac{2\pi}3$%.

Обозначим слагаемые в левой части через $%\phi$% и $%\psi$% соответственно. Тогда $%\cos\phi=3x$%, $%\sin\psi=x+1$%. Условие $%\phi\le\frac{7\pi}6-\psi$%, с учётом принадлежности углов отрезку $%[\frac{\pi}2,\pi]$%, на котором косинус убывает, равносильно $%3x=\cos\phi\ge\cos(\frac{7\pi}6-\psi)=-\cos(\frac{\pi}6-\psi)=-\frac{\sqrt3}2\cos\psi-\frac12\sin\psi=-\frac{\sqrt3}2\cos\psi-\frac12(x+1)$%. Тем самым, $%7x+1\ge-\sqrt3\cos\psi=-\sqrt{3(1-(x+1)^2)}$% с учётом ограничений на значения угла $%\psi$%, из которых следует неотрицательность косинуса.

Запишем неравенство в виде $%-7x-1\le\sqrt{-3x(x+2)}$%. При $%x\in[-\frac17,0]$% оно верно. Если $%x\in[-\frac13,-\frac17]$%, то обе части неотрицательны, и после возведения в квадрат получается $%52x^2+20x+1\le0$%. Корни квадратного трёхчлена равны $%\frac{-5\pm2\sqrt3}{26}$%. Оба они принадлежат отрезку $%[-\frac13,0]$%, но второй больше $%-\frac17$%. Тогда на рассматриваемом отрезке получается промежуток от меньшего корня до правого конца отрезка, и после склейки это даёт окончательный ответ $%x\in[-\frac{5+2\sqrt3}{26},0]$%.

ссылка

отвечен 14 Сен 1:52

@falcao: Спасибо!

(14 Сен 13:05) joker
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520
×915
×460

задан
13 Сен 23:26

показан
74 раза

обновлен
14 Сен 13:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru