алгебра - Неравенство с аркфункциями

Легко видеть, что $%x\in[-\frac13,0]$%. Отсюда ясно, что первое слагаемое находится между $%\frac{\pi}2$% и $%\pi$%, а второе между $%\frac{\pi}6$% и $%\frac{2\pi}3$%.

Обозначим слагаемые в левой части через $%\phi$% и $%\psi$% соответственно. Тогда $%\cos\phi=3x$%, $%\sin\psi=x+1$%. Условие $%\phi\le\frac{7\pi}6-\psi$%, с учётом принадлежности углов отрезку $%[\frac{\pi}2,\pi]$%, на котором косинус убывает, равносильно $%3x=\cos\phi\ge\cos(\frac{7\pi}6-\psi)=-\cos(\frac{\pi}6-\psi)=-\frac{\sqrt3}2\cos\psi-\frac12\sin\psi=-\frac{\sqrt3}2\cos\psi-\frac12(x+1)$%. Тем самым, $%7x+1\ge-\sqrt3\cos\psi=-\sqrt{3(1-(x+1)^2)}$% с учётом ограничений на значения угла $%\psi$%, из которых следует неотрицательность косинуса.

Запишем неравенство в виде $%-7x-1\le\sqrt{-3x(x+2)}$%. При $%x\in[-\frac17,0]$% оно верно. Если $%x\in[-\frac13,-\frac17]$%, то обе части неотрицательны, и после возведения в квадрат получается $%52x^2+20x+1\le0$%. Корни квадратного трёхчлена равны $%\frac{-5\pm2\sqrt3}{26}$%. Оба они принадлежат отрезку $%[-\frac13,0]$%, но второй больше $%-\frac17$%. Тогда на рассматриваемом отрезке получается промежуток от меньшего корня до правого конца отрезка, и после склейки это даёт окончательный ответ $%x\in[-\frac{5+2\sqrt3}{26},0]$%.