|
$%2 \cdot2^2 + 3 \cdot2^3 + 4 \cdot2^4+ 5 \cdot2^5 .... n \cdot2^n$% задан 29 Июл '13 10:34 
parol |
|
$$S_n=2\cdot2^2+3\cdot2^3+4\cdot2^4+5\cdot2^5+...+n\cdot2^n=$$$$=2(2\cdot2^1+3\cdot2^2+4\cdot2^3+5\cdot2^4+...+n\cdot2^{n-1}).$$ Рассмотрим сумму $$S_n(x)=x^2+x^3+x^4+...+x^n=\frac{x^{n+1}-x^2}{x-1},$$ производная $$S_n^{'}(x)=2\cdot x^1+3\cdot x^2+4\cdot x^3+5\cdot x^4+...+n\cdot x^{n-1}=\Big(\frac{x^{n+1}-x^2}{x-1}\Big)^{'}.$$ Найдите производную правой части, тогда $%S_n=2\cdot S^{'}(2).$% отвечен 29 Июл '13 11:04 
Anatoliy сумма ввида x^2+x^3+x^2 можно еще раз
(29 Июл '13 11:25)
parol
|
|
Обозначим $%S(n)=1\cdot 2^1+2 \cdot2^2 + 3 \cdot2^3 + 4 \cdot2^4+ 5 \cdot2^5+...+n \cdot2^n$%. Нужно найти формулу для $%S(n)-2.$% $%S(n)=(2+2^2 + 2^3 + 2^4+ 2^5+...+2^n)+ ( 2^2 + 2^3 + 2^4+ 2^5+...+2^n)+$% $%+( 2^3 + 2^4+ 2^5+...+2^n)+...+(2^{n-1}+2^n)+2^n=2(2^n-1)+2^2(2^{n-1}-1)$% $%2^3(2^{n-2}-1)+2^{n-1}(2^2-1)+2^n(2-1)=2^{n+1}-2+2^{n+1}-2^2+2^{n+1}-2^3+...+$% $%+2^{n+1}-2^n=n\cdot 2^{n+1}-(2+2^2+2^3+...+2^n)=n\cdot 2^{n+1}-2(2^n-1)=(n-1)2^{n+1}+2$% $%S(n)-2=(n-1)2^{n+1}.$% Ответ. $%(n-1)2^{n+1}.$% отвечен 29 Июл '13 11:35 
ASailyan |