математический-анализ - Вычислить предел

При больших $%n$% будет $%\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}\approx \dfrac{1}{2^k}$%, потому оценим величину $%\left|\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2n}\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}-\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2n}\dfrac{1}{2^k}\right|$%. $$\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}- \dfrac{1}{2^k}=\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}\left(1-\dfrac{1}{2^{\frac{k^2}{n+k}}}\right)\leq\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}\cdot\ln2^{\frac{k^2}{n+k}}=\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}\cdot\dfrac{k^2}{n+k}\cdot\ln2\leq\dfrac{k^2\ln2}{n\cdot2^\frac{k}{3}}.$$ По теореме Штольца $%\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2n}\dfrac{k^2\ln2}{n\cdot2^\frac{k}{3}}\to0$%, поэтому $%\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2n}\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2n}\dfrac{1}{2^k}$%. Дальнейшее очевидно.