Вычислить предел последовательности

lim sum(2^{-nk/(n + k)}) k пробегает от 0 до 2n, n стремится к бесконечности

задан 19 Сен '20 1:04

Попробуйте свести к интегральным суммам.

(19 Сен '20 1:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

При больших $%n$% будет $%\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}\approx \dfrac{1}{2^k}$%, потому оценим величину $%\left|\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2n}\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}-\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2n}\dfrac{1}{2^k}\right|$%. $$\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}- \dfrac{1}{2^k}=\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}\left(1-\dfrac{1}{2^{\frac{k^2}{n+k}}}\right)\leq\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}\cdot\ln2^{\frac{k^2}{n+k}}=\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}\cdot\dfrac{k^2}{n+k}\cdot\ln2\leq\dfrac{k^2\ln2}{n\cdot2^\frac{k}{3}}.$$ По теореме Штольца $%\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2n}\dfrac{k^2\ln2}{n\cdot2^\frac{k}{3}}\to0$%, поэтому $%\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2n}\dfrac{1}{2^{\frac{nk}{n+k}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{2n}\dfrac{1}{2^k}$%. Дальнейшее очевидно.

ссылка

отвечен 19 Сен '20 6:32

изменен 19 Сен '20 6:50

@caterpillar: непонятно неравенство с участием логарифма.

(19 Сен '20 7:52) falcao

@falcao, это просто следствие известного неравенства $%\ln x\leq x-1$% при $%x=\frac{1}{t}$%.

(19 Сен '20 8:00) caterpillar

@caterpillar: обычно величины типа 1-t оценивают экспонентой, поэтому я и удивился.

А просто единицей сверху нельзя было оценить?

(19 Сен '20 8:14) falcao

@falcao, так получили бы изначальный член суммы, с которым непонятно что делать. Тут смысл в том, что одна "энка" выскочила в знаменатель и за счёт этого в итоге получили стремление всей разности к нулю. Даже можно было без Штольца обойтись, замечая, что $%k^2\leq c\cdot2^{\frac{k}{6}}$%.

(19 Сен '20 8:20) caterpillar

@caterpillar: тут сам эффект понятен -- наверное, многими способами можно доказать то же самое. Я по виду выражений подумал на интегральные суммы, а интегрируемая функция там a^(1/(1+x)), где a=2^(-n) стремится к 1.

(19 Сен '20 8:28) falcao

@falcao, а такая штука разве интегрируется в элементарных функциях?

(19 Сен '20 8:49) caterpillar

@caterpillar: я подумал на то, что не интегрируется, и это сделано специально. Но там есть равномерное стремление к 1 на [0,2], и можно перейти к пределу.

(19 Сен '20 9:42) falcao

@falcao, как-то слишком для такой задачи, по-моему. Но всё зависит от контекста.

(19 Сен '20 10:52) caterpillar
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,794
×769

задан
19 Сен '20 1:04

показан
158 раз

обновлен
19 Сен '20 10:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru