|
@caterpillar, @falcao, @all_exist, помогите, пожалуйста, решить это уравнение, я уже совершал какие-то попытки, применяя стандартную теорию по заданию, но к ответу так и не пришел. задан 21 Сен '20 13:16 
vadim11
показано 5 из 11
показать еще 6
|
|
Применяем формулу 17... получаем, что $$ \Gamma(\alpha)\cdot p^{-\alpha}\cdot Y(p) = F(p) $$ $$ \Gamma(\alpha-1) \cdot \Gamma(\alpha)\cdot p^{-1}\cdot Y(p) = \Gamma(1-\alpha)\cdot p^{\alpha-1}\cdot F(p) $$ применяем формулу 17 в обратную сторону... $$ \Gamma(1-\alpha) \cdot \Gamma(\alpha)\cdot\int_{0}^{t} y(\tau)\;d\tau = \int_{0}^{t} (t-\tau)^{-\alpha}f(\tau)\;d\tau $$ Тут бы дальше равенство продифференцировать... но ... дальше пока не придумал... отвечен 21 Сен '20 14:57 
all_exist @all_exist, то есть в исходном виде можно решить задачу, верно? Вы имеет в виду, дифференцировать то равенство, которое идет после применения формулы 17 в обратную сторону?
(21 Сен '20 15:07)
vadim11
да, последнее равенство ... иначе пришлось бы требовать дифференцируемость правой части...
(21 Сен '20 15:29)
all_exist
@all_exist, спасибо Вам.
(21 Сен '20 16:25)
vadim11
|
Это уравнение типа свёртки, т.е. при применении преобразования Лапласа получается K(p)Y(p)=F(p), где K(p) -- образ функции, определяющей ядро, т.е. функции $%t^{\alpha-1}$%. Только при неизвестной правой части что тут вообще хотят-то?
@caterpillar, хотят чтобы решение каким-то образом зависело от f(t), возможно в общем виде как-то решение привести.
@caterpillar, просто дали это уравнение и сказали решить, больше никакой информации не было.
У меня получилось $%Y(p)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}p^\alpha F(p)$% (это я без таблиц, а по теореме о свёртке). Учитывая, что $%F_1(p)\cdot F_2(p)=L(f_1(t)\ast f_2(t))$% и инъективность, получится, что $%y(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\Gamma(-\alpha)}\int\limits_0^t(t-\tau)^{-\alpha-1}f(\tau)d\tau$%.
@caterpillar, в таблице есть ограничение на степень подынтегрального множителя... или его можно было обойти?...
@all_exist, вряд ли можно обойти. Но если эта формула даст решение, то какая разница? Так часто бывает, что формально делать нельзя, а сделаешь -- и ответ подошёл. Но проверять мне лениво. И, честно говоря, другого ничего тут в голову не приходит. Да и с гаммой красиво вышло, симметричненько.
Комментарии я слегка подчистил, от ошибочных и больше ненужных сообщений.
да, наверное можно было... зря испугался...
@caterpillar, так Вы не пользовались ответом @all_exist, а решили с помощью теорем? Если можно, расскажите, пожалуйста, как Вы пришли к этому ответу?
@vadim11, так это фактически те же самые формулы из таблицы, просто у меня таблица не такая большая, и поэтому использовал теорему о свёртке. Она в комментарии написана. Вы можете взять ту формулу 17 из ответа @all_exist, и применить её сразу в обратную сторону, без дополнительных преобразований, переобозначив в ней $%-\nu-1=\alpha$%.
@caterpillar, спасибо Вам, теперь разобрался.
@all_exist, я сам поначалу испугался, пока гамму не выделил и не оказалось, что там почти такая же степень. А так-то думал просто через обратное преобразование ответ писать)).