В каких из пространств $%l_p,\; m, \; c_0$% сходится последовательность $$ x_n(k) = \begin{cases} 1/k, & k \le n, \\ 1-\cos(1/\sqrt{k}), & k > n, \end{cases} \quad\quad\quad n\in\mathbb{N}. $$ Подскажите, пожалуйста, хотя бы алгоритм решения

задан 22 Сен '20 19:59

изменен 22 Сен '20 20:14

all_exist's gravatar image


47.1k212

Алгоритм во всех случаях одинаковый. Сперва надо понять, к чему последовательность сходится покоординатно. Выпишите $%x_1(k)$%, $%x_2(k)$%,... столбиком и посмотрите на столбцы -- станет понятно. Потом надо понять, будет ли стремиться к нулю величина $%\|x_n-x_0\|$%, где $%x_0$% -- покоординатный предел. В каждом пространстве норма своя. В $%c_0$% и $%m$% достаточно проверить равномерную сходимость, а в $%l_p$% --исследовать остаток ряда (Эквивалентно -- исследовать ряд на сходимость).

По-моему, тут во всех пространствах, кроме $%l_1$% сходимость будет (если предполагается $%p\geq1$%).

(22 Сен '20 20:05) caterpillar

Я правильно понимаю:
x1(k) = 1, 1-cos(1), 1-cos(2), ..., 1-cos(k)
x2(k) = 1, 1/2, 1-cos(3), ..., 1-cos(k)
x3(k) = 1, 1/2, 1/3, 1-cos(4), ..., 1-cos(k)
....
и т.д.
т.е. покоординатный предел будет равен 1 - cos(1/sqrt(k))?

(22 Сен '20 20:26) ded

Смотрите по каждому столбцу. Что там будет, начиная с некоторого номера? Если непонятно, напишите ещё, пока не наступит просветление. Т.е. не надо вот этого и т.д., если непонятно. Например, к чему стремятся числа в первом столбце? Это не подходит под Ваше предположение. К чему стремятся числа во втором столбце, в третьем и т.д.

(22 Сен '20 20:27) caterpillar

Хм, поторопился. Стремится к {1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, 1/(n+1),...}

(22 Сен '20 20:35) ded

Ну, только буква там должна быть k, n занято под другое. Это и есть покоординатный предел. Дальше, выписываете какую-нибудь норму и показываете стремление к нулю. Предварительно, избавьтесь от модуля, поставив правильные знаки.

(22 Сен '20 20:38) caterpillar

У меня получилось |Xn-Xo|=max|1/k - 1/(1-cos(1/sqrt(k)))| <= |1/k| + |1/(1-cos(1/sqrt(k)))|
первое слагаемое стремится к 0, а второе я никак не могу понять, как оценить. Можете подсказать?

(22 Сен '20 21:51) ded

@ded: 1-cos(z)~z^2/2 при z->0.

(22 Сен '20 22:41) falcao

@ded, от меня ускользает, почему под знаком максимума написано такое. Зачем там косинус сидит в знаменателе дроби, откуда это? Там должно быть $%\max\limits_{k\geq n}(\cos\frac{1}{\sqrt k}-1+\frac{1}{k})$% (это после избавления от знака модуля). И это очевидным образом оценивается сверху значением при $%k=n$%.

(23 Сен '20 4:24) caterpillar

Да, это я совсем неграмотно переписал. Извините за беспокойство. Спасибо за помощь!

(23 Сен '20 10:19) ded

@ded, извиняться за беспокойство здесь как-то странно)) нас же никто не заставляет писать.. тут у меня не раздражение, а скорее недоумение, откуда такое взялось.

(23 Сен '20 11:17) caterpillar
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×780
×349
×285

задан
22 Сен '20 19:59

показан
134 раза

обновлен
23 Сен '20 11:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru