Даны положительные действительные числа a,b,c,d, для которых выполнено следующее

а) (a-c)(b-d)=-4 b) (a+c)/2 >= (a^2+b^2+c^2+d^2)/(a+b+c+d) Найти минимальное значение выражения a+c

задан 30 Июл '13 21:26

10|600 символов нужно символов осталось
0

Положим $%x=(a+c)/2$%, $%y=(a-c)/2$%, $%z=(b+d)/2$%, $%w=(b-d)/2$%. Первое условие превращается в $%yw=-1$%. Во втором условии домножим обе части неравенства на положительное число $%a+b+c+d=2(x+z)$%. Заметим, что $%x^2+y^2=(a^2+c^2)/2$%, $%z^2+w^2=(b^2+d^2)/2$%. Следовательно, $%a^2+b^2+c^2+d^2=2(x^2+y^2+z^2+w^2)$%. Таким образом, приходим к неравенству $%x(x+z)\ge x^2+y^2+z^2+w^2$%, откуда $%xz\ge y^2+z^2+y^{-2}\ge z^2+2$% (последнее -- ввиду очевидного неравенства $%(y-y^{-1})^2\ge0$%).

Итак, имеет место неравенство $%z^2-xz+2\ge0$%, которое можно переписать в виде $%(z-x/2)^2\le(x/2)^2-2$%, из чего следует $%x^2\ge8$% и $%x\ge2\sqrt{2}$% ввиду положительности $%x$%. Тем самым, $%a+c=2x\ge4\sqrt{2}$%. Это значение достигается при $%x=2\sqrt{2}$%, $%y=1$%, $%z=\sqrt{2}$%, $%w=-1$%. Соответствующие значения исходных переменных равны $%a=2\sqrt{2}+1$%, $%b=\sqrt{2}-1$%, $%c=2\sqrt{2}-1$%, $%d=\sqrt{2}+1$%. Все эти числа положительны, и условия обоих пунктов для них выполняются (неравенство превращается в равенство).

Итак, минимальное значение для $%a+c$% равно $%4\sqrt{2}$%.

ссылка

отвечен 30 Июл '13 21:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×173

задан
30 Июл '13 21:26

показан
856 раз

обновлен
30 Июл '13 21:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru