|
Доказать, что пространство сходящихся последовательностей $$с = \{ \{x_i\} | \exists lim(x_i)\} \subset l_{\infty}$$ замкнуто и сепарабельно задан 24 Сен '20 0:32 
smartTalk |
|
Замкнутость. Рассмотрим последовательность в c, сходящуюся к пределу в эль бесконечность. $$(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \;,\; y_n \in c$$ $$ {\lim_{n \to \infty} y_n = y \in l_{\infty}} \iff \forall \, \epsilon > 0 \; \exists N \in \mathbb{N} : \forall n > N \; \rho(y_n, y) < \epsilon \iff \forall m \in \mathbb{N} \; {\sup_{n > N} |y_{n,m} - y_m|} < \epsilon $$ Каждый элемент в c сходящаяся последовательность, а значит фундаментальная. $$y_n \in c \implies \forall \, \epsilon > 0 \; \exists M \in \mathbb{N} : \forall m,m' \geq M \; |y_{n,m} - y_{n,m'}| < \epsilon$$ Теперь по неравенству треугольника покажем, что наш предел - фундаментальная последовательность. $$|y_m - y_{m'}| \leq |y_m - y_{n,m}| + |y_{n,m} - y_{n,m'}| + |y_{n,m'} - y_{m'}| < 3\epsilon \implies y \in c \implies c - замкнуто $$ Сепарабельность. Построим множество последовательностей с рациональными координатами, фиксированными с некоторого номера, очевидно, такое множество - счётно. $$Q = \{q=(q_1, q_2,..., q_n, q_n, q_n,...) \mid q_i \in \mathbb{Q}, \; 1 \leq i \leq n \}$$ Видно, что всякий элемент этого множества - сходящаяся последовательность. $${\forall q \in Q \; \exists {\lim_{k \to \infty}} q_k = q_n} \implies Q \subset c$$ Теперь покажем всюду плотность Q. $$\epsilon > 0, x \in l_1 \implies \exists N \in \mathbb{N} : s_1 = {\sup_{k \geq N + 1}} |x_k| < {\frac{\epsilon}{2}}$$ $$\mathbb{Q} \; плотно \; в \; \mathbb{R} \implies \exists y \in Q : s_2 = {\sup_{1 < k < N}} |x_k - y_k| < \frac{\epsilon}{2}$$ Значит $$В \; l_{\infty} \; || x - y || \leq s_1 + s_2 < \epsilon $$ Отсюда $$ \overline Q = c$$ Так как замыкание подмножества есть множество, то оно всюду плотно, значит c сепарабельно. отвечен 26 Сен '20 19:46 Cообщество ХэшКод Уважаемое сообщество. Разве вторая часть Вашего ответа имеет какое-то отношение к теме вопроса? Причём здесь $%l_1$%? Да и замкнутость можно доказать сильно проще.
(27 Сен '20 7:55)
caterpillar
|
Замкнутость следует из того, что сходимость последовательности в c эквивалентна равномерной сходимости относительно номеров координат. Сами члены последовательности -- сходящиеся последовательности. Т.е. можно применить теорему о перестановке предельных переходов и сказать, что предельная последовательность сходится. Сепарабельность: множество стационарных с некоторого номера последовательностей всюду плотно в c. Тогда берем последовательность, у которой на первых местах нужные рациональные числа, а, начиная с некоторого номера продолжаем эту последовательность последним рациональным числом.