Доказать, что пространство сходящихся последовательностей $$с = \{ \{x_i\} | \exists lim(x_i)\} \subset l_{\infty}$$ замкнуто и сепарабельно

задан 24 Сен 0:32

1

Замкнутость следует из того, что сходимость последовательности в c эквивалентна равномерной сходимости относительно номеров координат. Сами члены последовательности -- сходящиеся последовательности. Т.е. можно применить теорему о перестановке предельных переходов и сказать, что предельная последовательность сходится. Сепарабельность: множество стационарных с некоторого номера последовательностей всюду плотно в c. Тогда берем последовательность, у которой на первых местах нужные рациональные числа, а, начиная с некоторого номера продолжаем эту последовательность последним рациональным числом.

(24 Сен 4:36) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
0

Замкнутость. Рассмотрим последовательность в c, сходящуюся к пределу в эль бесконечность.

$$(y_n)_{n \in \mathbb{N}} \;,\; y_n \in c$$

$$ {\lim_{n \to \infty} y_n = y \in l_{\infty}} \iff \forall \, \epsilon > 0 \; \exists N \in \mathbb{N} : \forall n > N \; \rho(y_n, y) < \epsilon \iff \forall m \in \mathbb{N} \; {\sup_{n > N} |y_{n,m} - y_m|} < \epsilon $$

Каждый элемент в c сходящаяся последовательность, а значит фундаментальная.

$$y_n \in c \implies \forall \, \epsilon > 0 \; \exists M \in \mathbb{N} : \forall m,m' \geq M \; |y_{n,m} - y_{n,m'}| < \epsilon$$

Теперь по неравенству треугольника покажем, что наш предел - фундаментальная последовательность.

$$|y_m - y_{m'}| \leq |y_m - y_{n,m}| + |y_{n,m} - y_{n,m'}| + |y_{n,m'} - y_{m'}| < 3\epsilon \implies y \in c \implies c - замкнуто $$

Сепарабельность. Построим множество последовательностей с рациональными координатами, фиксированными с некоторого номера, очевидно, такое множество - счётно.

$$Q = \{q=(q_1, q_2,..., q_n, q_n, q_n,...) \mid q_i \in \mathbb{Q}, \; 1 \leq i \leq n \}$$

Видно, что всякий элемент этого множества - сходящаяся последовательность.

$${\forall q \in Q \; \exists {\lim_{k \to \infty}} q_k = q_n} \implies Q \subset c$$

Теперь покажем всюду плотность Q.

$$\epsilon > 0, x \in l_1 \implies \exists N \in \mathbb{N} : s_1 = {\sup_{k \geq N + 1}} |x_k| < {\frac{\epsilon}{2}}$$

$$\mathbb{Q} \; плотно \; в \; \mathbb{R} \implies \exists y \in Q : s_2 = {\sup_{1 < k < N}} |x_k - y_k| < \frac{\epsilon}{2}$$

Значит

$$В \; l_{\infty} \; || x - y || \leq s_1 + s_2 < \epsilon $$

Отсюда

$$ \overline Q = c$$

Так как замыкание подмножества есть множество, то оно всюду плотно, значит c сепарабельно.

ссылка

отвечен 26 Сен 19:46

изменен 26 Сен 20:04

Уважаемое сообщество. Разве вторая часть Вашего ответа имеет какое-то отношение к теме вопроса? Причём здесь $%l_1$%? Да и замкнутость можно доказать сильно проще.

(27 Сен 7:55) caterpillar
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×693
×340
×160
×120
×8

задан
24 Сен 0:32

показан
154 раза

обновлен
27 Сен 7:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru