Найдите все значения $%a$%, при каждом из которых система $$\left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot {2^{|x|}} + 5|x| + 4 = 3y + 5{x^2} + 3a\\ {x^2} + {y^2} = 1 \end{array} \right.$$ имеет единственное решение

Если пара чисел $%(x;y)$% является решением системы, то и $%(-x;y)$% также является решением. Значит, система имеет единственное решение тогда, когда $%x=0$%. Решив систему для $%x=0$%, нахожу, что при значении параметра $%a=4/3$% одним из решений являются числа $%(x;y)=(0;1)$%, а при значении $%a=10/3$% одним из решений являются $%(x;y)=(0;-1)$%. Теперь нужно понять, есть ли для данных значений параметра еще решения.

При $%a=4/3$% $$\left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot {2^{|x|}} + 5|x| = 3y + 5{x^2} \\ {x^2} + {y^2} = 1 \end{array} \right.$$

при $%a=10/3$%
$$\left\{ \begin{array}{l} 3 \cdot {2^{|x|}} + 5|x| = 3y + 5{x^2} + 6\\ {x^2} + {y^2} = 1 \end{array} \right.$$

С этим у меня проблема. Непонятно, что тут надо делать. Подскажите, пожалуйста.

задан 31 Июл '13 19:22

изменен 31 Июл '13 19:28

10|600 символов нужно символов осталось
1

link text

Можно так

ссылка

отвечен 31 Июл '13 19:49

Да, точно. Сразу заметил, что коэффициенты подозрительно похожие. Пробовал делить уравнение, чтобы получилось, что-нибудь хорошее, а взять за скобки не догадался. Большое спасибо!

(31 Июл '13 20:29) Silence
10|600 символов нужно символов осталось
1

Замечание редакционного характера. Фраза "система имеет единственное решение тогда, когда $%x=0$%" на математическом языке означает следующее: "если $%x=0$%, то система имеет единственное решение". На самом же деле здесь имеется в виду обратная импликация. Поэтому точнее было бы говорить так: "система имеет (может иметь) единственное решение ТОЛЬКО тогда, когда $%x=0$%".

Для анализа решений каждой из систем можно нарисовать примерные графики, построив их хотя бы даже по точкам. Для второй системы становится ясно, что её решениями будут ещё и $%(\pm1;0)$%, то есть этот случай не подходит.

В случае первой системы, справедливо неравенство $%3\cdot2^{|x|}\ge3$%, а при $%|x|\le1$% верно ещё и неравенство $%5|x|\ge5|x|^2=5x^2$%. Тогда из первого уравнения системы вытекает $%3y\ge3$%, то есть $%y=1$%, $%x=0$%.

ссылка

отвечен 31 Июл '13 20:10

Да, конечно. Эта задача на тему "Необходимые и достаточные условия" Необходимые нашли, нужно доказать их достаточность (или недостаточность)

(31 Июл '13 20:17) epimkin

На самом деле, я сначала так и хотел написать - "только тогда", но потом исправил, посчитав, что у кого-то может сложиться впечатление, что я умничаю на пустом месте. Большое спасибо!

(31 Июл '13 20:33) Silence
1

@Silence: интуиция Вам всё верно подсказывала! Обычно такие слова лишними не бывают, как и во многих других аналогичных случаях.

(31 Июл '13 20:40) falcao

@Silence: я Вам только что ответил (Ваше сообщение попало в категорию "подозрительных" писем, и я его оттуда извлёк). Если мой ответ дойдёт, то написать можно там же. А комментарии здесь потом можно будет удалить.

(12 Сен '13 22:26) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×418
×265

задан
31 Июл '13 19:22

показан
3628 раз

обновлен
12 Сен '13 22:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru