3
1

Катя задумала натуральное число $%n$%, а затем подобрала такие $%k\geqslant 2$% попарно различных натуральных чисел, чтобы сумма любых двух из них была степенью (с натуральным показателем) числа $%n$%.

Доказать, что $%k=2$%.

задан 27 Сен '20 0:07

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если чисел было три или более, то выделим a < b < c. Предположим, что a+b=n^x, a+c=n^y, b+c=n^z. Ясно, что n > 1, а также что x < y < z.

Число 2(a+b+c)=n^x+n^y+n^z чётно, откуда n чётно. Выражаем a=(a+b+c)-(b+c)=(n^x+n^y-n^z)/2. Это число оказывается отрицательным, так как n^z>=2n^{z-1}>=2n^y > n^x+n^y. Противоречие.

ссылка

отвечен 27 Сен '20 2:15

@falcao, большое спасибо, но мне кажется, что существует ещё более простое решение. Младшая лига, как-никак.

(27 Сен '20 10:51) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: а что тут сложного? Здесь всё автоматически получается из свойств степеней числа. Самое большое число превосходит сумму двух других. Ничего, кроме простейших законов арифметики, я не использую.

Вообще, ситуация с восстановлением чисел по их попарным суммам совершенно стандартна и однозначна. Препятствие там бывает только в виде возникновения нецелого числа, или отрицательного.

(27 Сен '20 11:02) falcao

@falcao, пусть чисел не менее трёх и пусть самое большое из них равно $%m$%. Тогда сумма $%m$% и любого из оставшихся чисел превосходит $%m$%, но меньше, чем $%2m$%. А две различные степени числа $%n$%, если оно больше 1, должны отличаться друг от дружки как минимум вдвое. Если же $%n=1$%, то любая его степень тоже равна 1, следовательно, не может быть суммой двух натуральных чисел. У кого проще?

(27 Сен '20 16:34) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: отличие тут только в обозначениях. Идея ровно та же -- насчёт "вдвое".

(27 Сен '20 16:50) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru