При каких значениях $%a$% и $%b$% система $$\left\{ \begin{array}{l} \frac{\arctan{y} }{x^2 + 1} \cdot \frac{x^y-1}{x^y+1} = a \\ (y^2-1)^2+b=x \\ \end{array} \right.$$ имеет ровно пять различных решений?

Непонятно, что тут надо делать. Помогите, пожалуйста, разобраться.

задан 1 Авг '13 15:23

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%(x_0;y_0)$% решение системы, тогда очеводно что $%(x_0;-y_0)$% удовлетворяет второму уравнению и удовлетворяет и первому уравнению (см. ответ @falcao). Значит чтобы система имела нечетное число решений, надо чтобы среди решений было $%(b+1;0).$% подставим в первое уравнение , получаем $%a=0.$% И так одно из решений $%(b+1;0)(b\ne -1).$% Первое уравнение принимает вид $% \frac{\arctan{y} }{x^2 + 1} \cdot \frac{x^y-1}{x^y+1} = 0 . $%

Остальные решения системы (для которых $%y\ne 0$%) найдем из уравнения $%x^y-1=0. $%

Так-как $%y\ne0,$% то или $%(I) x=1, y\in R$% или $%(II)x=-1, y=2k, k\in Z.$%

Рассмотрим эти случаи:

$%(I)$% Второе уравнение принимает вид $%y^4-2y^2+b=0,$% и должно иметь ровно $%4$% решения(естественно что $%b\ne0,$% и не один из этих решений не будет совпадать с $%(b+1;0)).$% Надо требовать чтобы $%D>0,$% и $%b>0 \Rightarrow b\in(0;1).$%

И так при $%a=0,b\in(0;1),$% система имеет ровно 5 решений $%(b+1;0),(1;\pm\sqrt{1\pm\sqrt{1-b}}).$%

$%(II)$% Второе уравнение принимает вид $%(y^2-1)^2=-1-b,$% и должно иметь $%4$% решений, которые должны быть целыми и четными числами.Естественно надо потребовать $%b<-1.$% Тогда уравнение равносильно $%y^2=1\pm\sqrt{-1-b}. $% Которое не имеет 4 целых корней, потому что $%1-\sqrt{-1-b}$% не натуральное.

Ответ. $% a=0,b\in(0;1),$%

ссылка

отвечен 1 Авг '13 23:38

изменен 2 Авг '13 9:21

Когда рассматривается уравнение, то нужно указывать все его решение. И еще одно зачем рассматривается $%x=-1?$% В уравнении присутствуют степени с действительным показателем. В предыдущих комментариях я указывал, что из этого следует. Поэтому рассмотрение случая II в решении ASailyan неуместно.

(2 Авг '13 9:06) Anatoliy

Я не согласна с вашими предыдущими комментариями. Если не дано не какое ограничение над переменными, то надо определить ОДЗ системы согласно определениям введеным в школе.

ОДЗ этой системы: $%(x\in R_{+}, y\in R) , (x=0, y>0), (x\in R_{-},y\in Z).$%

$%x=-1$% рассматривется, как раз для того, чтобы найти все решения системы, потому что скажем пара $%(-1,2)$% является решением первого уравнения, при $%a=0$% и является решением системы, при $%a=0,b=-10$%.

(2 Авг '13 9:59) ASailyan

Математика - не частная лавочка. Нужно следовать тому, как это отражено в серьезных курсах математики. Интересно, как бы Вы решали это задание, если бы во втором уравнении системы переменная $%x$% находилась под модулем? Дело каждого соглашаться или не соглашаться с комментариями других, но строгость и истина в науке на первом месте!

(2 Авг '13 10:45) Anatoliy
1

Вот с этим я согласна. "Математика-не частая лавочка. Дело каждого соглашаться или не соглашаться с комментариями других, но строгость и истина в науке на первом месте!"

(2 Авг '13 11:27) ASailyan

Я считаю, что @Sailyan здесь полностью права. Именно так в школе определены степени. Заключение о том, что x положительно, корректно делать только для нецелого показателя у. Когда понятие степени расширяется, все старые соглашения остаются в силе.

(3 Авг '13 13:56) falcao

Я с Вами не согласен. Объяснял я достаточно, и не хочу дальше что-то повторять. Добавлю лишь аналогию, если соревнования проходят только на автомобилях, то использование мула в этих соревнованиях исключено!

(3 Авг '13 14:50) Anatoliy

Вы утверждаете, что из условия вытекает положительность х. Как это обосно вывается? Говорится, что имеется степень. Но разве школьные правила з апрещают степени с отрицательным основанием во всех случаях? Такого правила нет. Вот как Вы считаете, можно ли пару чисел х=-3, у=4 считать одним из решений уравнения $%x^y=81$%? Я считаю, что можно, так как при подстановке получается верное равенство. Оба числа являютя действительными.

(4 Авг '13 8:12) falcao

Если это уравнение рассматривается на множестве действительных чисел, то пара х=-3, у=4 не является решением этого уравнения. Посмотрите, скажем, раздел "Элементарные функции" школьного учебника математики, где рассматриваются свойства степенной функции, там Вы найдете область ее определения, и все станет на свои места.

(4 Авг '13 14:10) Anatoliy
1

Область определения степенной функции $%y=x^2$% равна $%{\mathbb R}$%. Для нецелых $%a$% функция $%y=x^a$% имеет область определения $%{\mathbb R}_+$%. Есть ли учебники, в которых это обстоит по-другому? Множество решений уравнения $%x^y=81$% состоит из всех пар $%(x,y)$%, для которых это равенство верно. На языке функций не надо даже формулировать. Пара $%(-3,4)$% является решением, так как равенство $%(-3)^4=81$% верно. Числа $%-3$% и $%4$% принадлежат $%{\mathbb R}$%.

(4 Авг '13 17:18) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
3

Это не решение, а только несколько общих соображений.

Если $%x^y\ne0$%, то можно заменить $%y$% на $%-y$%. На второе уравнение это не влияет, а в первом -- арктангенс сменит знак, а дробь $%(x^{-y}-1)/(x^{-y}+1)$% после домножения числителя и знаменателя на $%x^y$% равна $%(1-x^y)/(1+x^{-y})$%, то есть здесь тоже происходит смена знака.

Таким образом, в большинстве случаев количество решений будет чётно за счёт симметрии. Отдельного рассмотрения заслуживает случай, когда есть решение с $%y=0$%; при этом $%a=0$%, и этот случай сравнительно просто анализируется. Но нужно также иметь в виду, что может быть решение, для которого $%x=0$%, и здесь также анализ должен производиться отдельно.

ссылка

отвечен 1 Авг '13 16:45

@Anatoliy: вынужден отвечать Вам здесь, так как в других ветках нет места. Вы спросили, считаю ли я верным равенство $%(-3)^{6/2}$%? Ответ: разумеется, да, так как $%6/2$% есть другое имя того же числа $%3$%, а $%(-3)^3=-27$%. Более того, верно любое равенство наподобие $%(-3)^{u+v}=-27$%, где $%u$% и $%v$% -- какие-то нецелые числа, в сумме равные трём. Разумеется, нельзя при этом применять равенство $%(-3)^{u+v}=(-3)^u(-3)^v$%, так как правая часть не определена. Но это так же точно, как $%\sqrt{(-4)(-9)}=6$%, хотя нельзя перейти к произведению корней.

(4 Авг '13 21:07) falcao

Хорошо. Но, согласно определению степени с рациональным показателем $%(-3)^\frac{6}{2}=\sqrt{(-3)^6}=27!$%

Кстати, если Вы откроете учебник 9 класса, то увидите, что в определении степени с рациональным показателем этот случай не исключается. Причина, по которой идет сужение области основания степени - это соблюдение однозначности значения степени. Вот поэтому, решение уравнений со степенями на множестве действительных и целых чисел -это разные вещи (там по разным правилам находится значение степени!). Подумайте хорошенько! Спокойной ночи!

(4 Авг '13 22:19) Anatoliy
1

Если Вы откроете для меня какие-то не замеченные мной тонкости школьного курса, буду очень признателен. Но пока этого я не наблюдаю. Определение $%a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$% даётся, если мне не изменяет память, для положительных $%a$%. Применять его к числу $%a=-3$% нельзя. Ясно, что $%(-3)^\frac62=(-3)^3=-27$%; ясно также, что $%((-3)^6)^{1/2}=729^{1/2}=27$%. О чём это говорит? О неприменимости правила $%a^{uv}=(a^u)^v$% для чисел помимо положительных, только и всего. Но из этого никак не следует то, на чём Вы настаиваете. Может быть, завести отдельное обсуждение?

(5 Авг '13 1:01) falcao

Так все-таки a>0! Степень с действительным показателем. На этом пока и остановимся!

(5 Авг '13 10:52) Anatoliy

Так я с самого начала говорил, что если показатель степени нецелый, то основание должно быть положительно. И если мы видим выражение $%x^y$%, где $%y\notin{\mathbb Z}$%, то вывод $%x > 0$% абсолютно корректен. Но возможен второй случай, когда $%y\in{\mathbb Z}$% в силу чисто логических соображений: всякое действительное число бывает или нецелым, или целым. И вот когда $%y$% целое, то вывод $%x > 0$% уже ниоткуда не следует. Если Вы с этим согласны, то можно остановиться :)

(5 Авг '13 11:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Обратите внимание, что $%x>0$%, и, если пара $%(x;y)$% является решением системы уравнений, то и пара $%(x;-y)$% является решением системы уравнений. В силу условия задачи решением системы должна быть пара $%(x;0),$% откуда следует, что $%a=0.$% Тогда первое уравнение распадается на два $$\frac{arctgy}{x^2+1}=0\Leftrightarrow arctgy=0\Leftrightarrow y=0\quad и\frac{x^y-1}{x^y+1}=0\Leftrightarrow x=1\quad или \quad y=0.$$ График первого уравнения при $%a=0$% состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых. Второе уравнение можно рассматривать как функцию $%x=(y^2-1)^2+b$% с аргументом $%y.$% Эта функция - четная, имеет два равных минимума в точках $%-1$% и $%1$% и максимум в точке 0, разность между значением максимума и минимума равно $%1.$%

alt text

Ответ. при $%a=0,\quad b\in(0;1).$%

ссылка

отвечен 1 Авг '13 16:46

изменен 2 Авг '13 7:51

Вообще говоря, в условии не сказано, что $%x > 0$%. Ведь в школьной программе определены как минимум все степени с натуральными показателями. Для них $%x$% может быть каким угодно.

(1 Авг '13 16:59) falcao

Я так понимаю, что система решается на множестве действительных чисел! А согласно школьной программе, степень с действительным показателем определяется с положительным основанием.

(1 Авг '13 17:05) Anatoliy
1

В школе все числа действительные, но выражения типа $%(-7)^5$%, $%0^4$%, $%(-\pi)^7$% определены согласно школьным правилам. Положительность основания степени предполагается при рассмотрении показательной функции, но выражения вида $%x^y$% определены и в более общем контексте -- например, при натуральном $%y$% (и это частный случай действительного числа). Если авторы задачи исходили из того, что $%x > 0$%, они должны были это сказать в условии.

(1 Авг '13 17:20) falcao
1

А почему Вы решили, что $%y\in N$%? Что касается приведенного Вами примера, то там не сформулировано условие до конца. Вы должны знать, что понятие степени в школе вводится последовательно: степень с натуральным показателем, степень с целым показателем, степень с рациональным показателем, степень с иррациональным, а затем с действительным показателем. При этом идет "сужение" области допустимых значений для основания. Если в условии нет никаких оговорок, то ученик 10 класса решает уравнения подобного типа, используя степень с действительным показателем. Вот в чем фокус сего...

(1 Авг '13 19:11) Anatoliy

Я не утверждаю, что $%y$% натуральное, но ведь такой частный случай может представиться. И его надо учитывать просто по той причине, что все натуральные числа являются действительными. В исходной задаче я могу просто загадать какое-то отрицательное $%x$% и натуральное $%y$%. Им будут соответствовать некие $%a$% и $%b$%. Почему не может так оказаться, что для этих значений $%a,b$% решений в действительных числах (включая загаданное) будет ровно пять? Это надо доказывать или опровергать.

(1 Авг '13 19:18) falcao

Отвечаю еще раз на Ваш комментарий здесь. В Вашем комментарии нужно добавить, что уравнение решается на множестве целых чисел. Вот тогда Вы правы, а так - нет. Мне кажется, что этот диалог затянулся, и нужно остановиться. Если Вы убеждены в своей правоте, то пусть это остается с Вами. У меня другое, свое, мнение по этому вопросу. Вот посмотрите, что выдал микрокалькулятор $% (-3)^{1.5} = -5.19615242i . $%

Как Вы думаете чему равно на множестве действительных чисел $%(-3)^3$%?

(4 Авг '13 18:03) Anatoliy

У меня уравнение решается на множестве действительных чисел. Поэтому туда войдут и такие решения как $%(\pm\sqrt{3},8)$%, и $%(\pm3,4)$%, и решения вида $%(x,\log_x81)$% при $%x > 0$%, $%x\ne1$% и так далее. Ведь целые числа образуют подмножество действительных, и все решения уравнения на подмножестве будут решениями и на надмножестве. Мнения могут быть разные при обсуждении вопросов, скажем, искусства, но тут речь идёт о математике, про которую Вы верно сказали, что это не частная лавочка. Число $%(-3)^3$% равно $%-27$% хоть на $%{\mathbb Z}$%, хоть на $%{\mathbb R}$% -- это ясно.

(4 Авг '13 20:17) falcao

Как Вы считаете $%(-3)^3=(-3)^\frac{9}{3}\quad$% и $%(-3)^3=(-3)^\frac{6}{2}?$%

(4 Авг '13 20:54) Anatoliy
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×458
×281

задан
1 Авг '13 15:23

показан
1713 раз

обновлен
5 Авг '13 11:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru