|
Найдите все значения параметра $%a$%, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{aligned} & |y|+|1-x^2|=4,\\ & y^2+(1-x^2)^2=a^2 \end{aligned}\right.$$ будет иметь ровно 8 решений. задан 27 Сен '20 23:49 
cs_puma |
|
Можно неэстетично обозначить $%\;|1-x^2|=t,\;$% и переформулировать: Найти все значения параметра $%\;a,\;$% при каждом из которых система уравнений $%\left\{\!\begin{aligned}
& y+t=4, \\
& y^2+t^2=a^2 имеет две пары решений $%\;(p;q),\;$% где $%\;p\geqslant0;\; q\geqslant0. $% И можно выписывать ответ: При $%\; |a| < a_1,\;$% и $%\;|a| > a_2\;\; -\; \;$% решений нет; При $%\;|a|=a_1=2\sqrt{2}\; \;- \;\; 4\;$% решения $%\;(t;y) = \pm(\pm2; 2),\;$% или $%\;(x;y)=\pm(\pm3; 2);$% При $%\;|a|=a_2=4\; \;- \; 2\; $% решения $%\;(t;y)=(0;4); (4;0), \;$% или $%\;6\;$% решений $%\;(x;y)=\pm(\pm1; 4);\pm( \pm \sqrt{5}; 0); $% При $%\; 2\sqrt{2} < |a| < 4\;\; - \;\; 2\;$% решения $%\;(t;y)=\pm(2+p;2-p),\;$% или $%\;8\;$% решений $%\;(x;y)=\pm(\pm\sqrt{3+ p }; 2-p); \pm(\pm\sqrt{3- p }; 2+p);\;\
отвечен 28 Сен '20 22:35 
FEBUS Странно, но у меня другой ответ вышел $%(2\sqrt2; \sqrt{10})$%
(28 Сен '20 22:44)
cs_puma
@FEBUS, а какая разница в неэстетическом обозначении $%|y|=\eta$% и в эстетичном условии $%p \ge 0$% (кстати, неравенства вроде нестрогие)... Можно было вообще модуль игрека не трогать и рисовать половину окружности и "галочку" сдвинутого модуля ... или вообще обозначить $%z=x^2-1$% и рисовать окружность с ромбом... Вроде как это всё на любителя...
(28 Сен '20 22:47)
all_exist
@cs_puma, Странно, но у меня другой ответ вышел - я писал сходу... и видимо окарался в подсчёте корней... пойду исправляться...
(28 Сен '20 23:12)
all_exist
@all_exist: Гуру falcao считает неэстетично то, что я пишу. Да, нестрогие.
(28 Сен '20 23:17)
FEBUS
|
|
@cs_puma, Если бы под вторым модулем было линейное выражение, то проблем не было. - проблема не понятна... Обозначили $$ |x^2-1|=\xi,\quad |y|=\eta $$ получили систему, которая описывает пересечение в первой четверти плоскости и части окружности... отсюда получили первую порцию ограничений на параметр... Система имеет симметричные пары решений - $%(\xi; \eta)=(A;B)$% и $%(\xi; \eta)=(B;A)$%, где $%0 \le A \le 2 \le B \le 4$%... следовательно, $$ x = \pm\sqrt{1\pm A}, \quad y=\pm B \quad\text{или}\quad x = \pm\sqrt{1+ B}, \quad y=\pm A $$ Итого, Вот Вам вторая порция условий на параметр... отвечен 28 Сен '20 12:59 
all_exist |
И что? Какие трудности?
Если бы под вторым модулем было линейное выражение, то проблем не было.