1
1

Найдите все значения параметра $%a$%, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{aligned} & |y|+|1-x^2|=4,\\ & y^2+(1-x^2)^2=a^2 \end{aligned}\right.$$ будет иметь ровно 8 решений.

задан 27 Сен '20 23:49

изменен 27 Сен '20 23:50

И что? Какие трудности?

(28 Сен '20 6:01) FEBUS

Если бы под вторым модулем было линейное выражение, то проблем не было.

(28 Сен '20 9:53) cs_puma
10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно неэстетично обозначить $%\;|1-x^2|=t,\;$% и переформулировать:

Найти все значения параметра $%\;a,\;$% при каждом из которых система уравнений

$%\left\{\!\begin{aligned} & y+t=4, \\ & y^2+t^2=a^2
\end{aligned}\right.$%

имеет две пары решений $%\;(p;q),\;$% где $%\;p\geqslant0;\; q\geqslant0. $%

И можно выписывать ответ:

При $%\; |a| < a_1,\;$% и $%\;|a| > a_2\;\; -\; \;$% решений нет;

При $%\;|a|=a_1=2\sqrt{2}\; \;- \;\; 4\;$% решения $%\;(t;y) = \pm(\pm2; 2),\;$% или $%\;(x;y)=\pm(\pm3; 2);$%

При $%\;|a|=a_2=4\; \;- \; 2\; $% решения $%\;(t;y)=(0;4); (4;0), \;$%

или $%\;6\;$% решений $%\;(x;y)=\pm(\pm1; 4);\pm( \pm \sqrt{5}; 0); $%

При $%\; 2\sqrt{2} < |a| < 4\;\; - \;\; 2\;$% решения $%\;(t;y)=\pm(2+p;2-p),\;$%

или $%\;8\;$% решений $%\;(x;y)=\pm(\pm\sqrt{3+ p }; 2-p); \pm(\pm\sqrt{3- p }; 2+p);\;\
где $% $% \; p = \sqrt{a^2/2-4}. $%

alt text

ссылка

отвечен 28 Сен '20 22:35

изменен 28 Сен '20 23:25

Странно, но у меня другой ответ вышел $%(2\sqrt2; \sqrt{10})$%

(28 Сен '20 22:44) cs_puma

@FEBUS, а какая разница в неэстетическом обозначении $%|y|=\eta$% и в эстетичном условии $%p \ge 0$% (кстати, неравенства вроде нестрогие)...

Можно было вообще модуль игрека не трогать и рисовать половину окружности и "галочку" сдвинутого модуля ... или вообще обозначить $%z=x^2-1$% и рисовать окружность с ромбом...

Вроде как это всё на любителя...

(28 Сен '20 22:47) all_exist

@cs_puma, Странно, но у меня другой ответ вышел - я писал сходу... и видимо окарался в подсчёте корней... пойду исправляться...

(28 Сен '20 23:12) all_exist

@all_exist: Гуру falcao считает неэстетично то, что я пишу. Да, нестрогие.

(28 Сен '20 23:17) FEBUS
10|600 символов нужно символов осталось
4

@cs_puma, Если бы под вторым модулем было линейное выражение, то проблем не было. - проблема не понятна...

Обозначили $$ |x^2-1|=\xi,\quad |y|=\eta $$ получили систему, которая описывает пересечение в первой четверти плоскости и части окружности... отсюда получили первую порцию ограничений на параметр...

Система имеет симметричные пары решений - $%(\xi; \eta)=(A;B)$% и $%(\xi; \eta)=(B;A)$%, где $%0 \le A \le 2 \le B \le 4$%... следовательно, $$ x = \pm\sqrt{1\pm A}, \quad y=\pm B \quad\text{или}\quad x = \pm\sqrt{1+ B}, \quad y=\pm A $$

Итого,
если $%A=0$%, $%B=4$%, то решений 6 штук,
если $%A\in (0;1)$%, $%B\in (3;4)$%, то решений 12 штук,
если $%A=1$%, $%B=3$%, то решений 10 штук,
если $%A\in (1;2)$%, $%B\in (2;3)$%, то решений 8 штук,
если $%A=B=2$%, то решений 4 штуки...

Вот Вам вторая порция условий на параметр...

ссылка

отвечен 28 Сен '20 12:59

изменен 28 Сен '20 23:34

$%|y|=η\;\;$% Смешно!

(28 Сен '20 14:36) FEBUS

@FEBUS: а что тут смешного? Если такую замену не делать, то получаются "неэстетичные" обозначения.

(28 Сен '20 21:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×533

задан
27 Сен '20 23:49

показан
375 раз

обновлен
28 Сен '20 23:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru