$$A\in l_p , А \space вполне \space ограничено \space (предкомпактно)$$ $$\leftrightarrow$$ $$А \space ограничено \space и \space \forall \varepsilon>0 \space \exists N: \forall \{a_i\} \subset A \space \space (\sum_{i>N}|a_i|^p)^{1/p} <\varepsilon$$

задан 1 Окт '20 14:14

10|600 символов нужно символов осталось
3

Необходимость: пусть $%A$% -- предкомпактно, тогда $%\forall\varepsilon>0$% существует конечный набор элементов $%b_i\in\ell_p$%, $%i=1,..,n$% таких, что $%A\subset\bigcup\limits_{i=1}^nB(b_i,\varepsilon)$%. Тем самым, $%A$% сразу же ограничено. Кроме того, в силу сходимости соответствующих рядов, для каждого $%b_i$% найдется $%N_i\in\mathbb{N}$% такое, что $%\sum\limits_{j=N_i}^\infty |b_i^j|^p\leq\varepsilon^p$%. Пусть $%N=\max\{N_i\}$%. Учитывая, что для всякого $%a\in A$% найдётся $%b_i$% такое, что $%\|a-b_i\|<\varepsilon$%, получим, что для всякого $%a\in A$% $$\left(\sum\limits_{j=N}^\infty |a_j|^p\right)^\frac{1}{p}\leq\left(\sum\limits_{j=N}^\infty |b_i^j|^p\right)^\frac{1}{p}+\left(\sum\limits_{j=N}^\infty |a_j-b_i^j|^p\right)^\frac{1}{p}\leq\left(\sum\limits_{j=N_i}^\infty |b_i^j|^p\right)^\frac{1}{p}+\|a-b_i\|<2\varepsilon.$$

Достаточность: для произвольного $%\varepsilon>0$% каждому $%a\in A$% поставим в соответствие элемент $%a_\varepsilon=(a_1,a_2,...,a_{N_\varepsilon},0,0,...)$%, тогда из условий следует, что $%\|a-a_\varepsilon\|<\varepsilon$% и $%\|a_\varepsilon\|\leq\|a\|\leq C$%. Если $%M$% -- подпространство $%l_p$%, состоящее из элементов вида $%a_\varepsilon=(a_1,a_2,...,a_{N_\varepsilon},0,0,...)$%, то ясно, что оно изоморфно конечномерному пространству, а соответствующее множество $%A_\varepsilon$% в нём ограничено. В конечномерном пространстве ограниченность эквивалентна предкомпактности, поэтому $%A_\varepsilon$% предкомпактно и для него в $%M$% существует конечная $%\varepsilon-$%сеть $%\{b_i\}$%, $%i=1,...,n$%, т.е. для каждого $%a_\varepsilon\in A_\varepsilon$% найдётся какой-то $%b_i$%, что $%\|a_\varepsilon-b_i\|<\varepsilon$%. Тогда для $%a\in A$% $%\|a-b_i\|\leq\|a-a_\varepsilon\|+\|a_\varepsilon-b_i\|<2\varepsilon$%, т.е. нашли для множества $%A$% конечную $%2\varepsilon-$%сеть.

ссылка

отвечен 1 Окт '20 15:20

изменен 1 Окт '20 15:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×780
×347
×165
×124
×30

задан
1 Окт '20 14:14

показан
116 раз

обновлен
1 Окт '20 15:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru