Помогите решить! Необходимо найти все целые значения параметра a, при которых уравнение имеет не менее двух решений в целых числах, и найти все целочисленные решения уравнений в этих случаях при n = 3, при n > 3. $$x^n + y^n = {a x^{n-1}y^{n-1}}.$$

задан 3 Окт '20 20:57

возвращен 9 Окт '20 0:59

falcao's gravatar image


269k73751

Я вернул прежнее условие. Вы его зачем-то заменили, в результате чего задача приобрела другой смысл.

(9 Окт '20 1:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Нулевое решение всегда есть, поэтому вопрос состоит в том, при каких целых a имеется хотя бы одно ненулевое решение. Ясно, что если одна из переменных равна нулю, то и другая тоже. Обозначим d=НОД(x,y) и положим x=du, y=dv, где u, v взаимно просты. Подставляя, имеем u^n+v^n=ad^{n-2}(uv)^{n-1}. Если |uv| не равен 1, то u или v делится на некоторое простое p. Тогда u^n+v^n делится на p, откуда оба числа делятся на p вопреки взаимной простоте. Таким образом, |u|=|v|=1.

Если n>=3 нечётно, то u^n+v^n равно 0, 2 или -2. При a=0 получается бесконечное множество решений вида (x,-x). При a=2 должно быть u=v=1, d=1, и ненулевое решение имеет вид (1,1). При a=-2 получается (-1,-1). При a=1 имеем d=2, если n=3, и получается решение (2,2). Соответственно, a=-1 при n=3 даёт (-2,-2), а при n > 3 этих решений нет.

Если n>=4 чётно, то a=0 даёт лишь нулевое решение. Правая часть будет равна 2, откуда 2=+-ad^{n-2}. Если a=2, то d=1, и (ненулевых) решений два: (1,1) и (-1,-1). Если a=-2, то также d=1, и решениями будут (1,-1), (-1,1). Случай |a|=1 ведёт к d^{n-2}=2, что невозможно.

К сожалению, задача получилась неинтересной, так как все решения тут "мусорные", и их лень даже анализировать (я начал писать текст, а потом об этом пожалел :))

ссылка

отвечен 3 Окт '20 21:50

Ясно, я думал все намного сложнее, спасибо вам!

(9 Окт '20 0:47) nmath
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×175
×104

задан
3 Окт '20 20:57

показан
321 раз

обновлен
9 Окт '20 1:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru