Задана задача Коши: $$u_{tt} = u_{xx} \\ u\mid_{t=0} = 0 \\ u_t\mid_{t=0} = (1+x^2)^{\alpha}e^{\beta x^2}$$

Пусть решение имеет вид: $$u(x,t), \quad (x, t) \in \mathbb {R} \times \mathbb {R} $$ Найти все значения параметров $%\alpha, \beta $%, такие что $%\sup\limits_{\mathbb {R} \times \mathbb {R_+}} |u(x,t)|<+\infty$%

Я нашел общее решение задачи по формуле Даламбера: $$u(x,t) = \frac{1}{2} \int\limits_{x-t}^{x+t}(1+w^2)^{\alpha}e^{\beta w^2}dw$$ Теперь надо что то придумать с супремумом: $$\sup\limits_{\mathbb {R} \times \mathbb {R_+}}|\int\limits_{x-t}^{x+t}(1+w^2)^{\alpha}e^{\beta w^2}dw| < +\infty $$

задан 4 Окт '20 1:27

изменен 4 Окт '20 12:15

1

в границах интеграла никакого $%a$% не будет... и в степени экспоненты будет не икс...

Теперь надо что то придумать с супремумом: - понятно, что бета должна быть отрицательной (и тогда альфа любое)... или нулём, тогда надо искать альфа, чтобы интеграл по всей числовой прямой сходился...

(4 Окт '20 2:38) all_exist
2

@prostossasha, после того, как исправите опечатки, надо заметить, что подынтегральная функция положительна, нижний предел интегрирования меньше верхнего, поэтому модуль можно убрать, и вместо супремума написать интеграл по всей оси, который, ввиду чётности подынтегральной функции, сводится к интегралу по полуоси. Его и надо исследовать на сходимость в окрестности плюс бесконечности.

И ещё, непонятно, зачем в качестве переменной интегрирования использовать букву u?

(4 Окт '20 5:53) caterpillar

@all_exist @caterpillar простите за мою невнимательность, буду чаще перепроверять то, что написал. Все опечатки в посте поправил)

(4 Окт '20 11:51) spacecreator
1

@prostossasha: там ещё переменную интегрирования предлагали заменить. Плохо ведь, когда u=u(x,t), и одновременно по u интегрируют.

(4 Окт '20 12:08) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×161
×63
×27
×19

задан
4 Окт '20 1:27

показан
261 раз

обновлен
4 Окт '20 12:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru