Как по вашему, является ли функция $%f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{-x}$% от вещественной переменной x непрерывной в точке 0? Возрастающей? Убывающей?
Ответ, конечно, зависит от того, как задать определение непрерывности и монотонности. А как Вы думаете?

Вопрос упирается в то, считать ли верным утверждение, если оно применяется к пустому множеству объектов (например, пар чисел x, y, $%x\not= y$%).
Связанный вопрос: верно ли равенство f(x) = g(x) в точке, где g(x) не определена? Потому что никто не спорит, что $%1\not=2$%. Но верно ли равенство $%tg(x+y)=\frac{tg x + tg y}{1-tg xtg y}$%?

задан 21 Фев '12 12:55

изменен 21 Фев '12 16:11

Ответ Valery об области определения функций. Как по вашему, будет ли функция $%x\sqrt{sin(1/x)}$% Иметь предел в 0? А ведь она не определеная ни в какой окрестности 0! Правда, она не существует в 0 (разве что доопределить, но тогда получится не элементарная функция)

(21 Фев '12 21:48) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если рассмотреть эту функцию как функцию действительного аргумента, то в согласии с индуцированной топологией на множестве {0} эта функция будет непрерывной. Но вряд ли такие примеры интересны. Так можно на них зациклиться и тогда прощай голубое небо.

ссылка

отвечен 21 Фев '12 13:08

Для продвинутых товарищей, которые знают, что такое "индуцированная топология" - конечно не интересно. Я рассчитывала на первокурсников.
Кстати, обычное определние непрерывности: предел функции в данной точке равен ее значению. А чему равен предел f(x) в 0?

(21 Фев '12 13:12) DocentI

Хотел Вас поразить своими чудо-способностями и угадать Ваше имя - Ирина. И угадал, но, к сожалению ,затем увидел его на Вашей страничке. Так не удалось доказать свое видение на расстоянии.

(21 Фев '12 14:46) ValeryB

Ну вот, не дала Вам блеснуть интуицией! Видимо, это буква I навела Вас на мысль? Значит, ход наших мыслей совпадает. А все же что по поводу предела?

(21 Фев '12 16:01) DocentI

Обычное определение непрерывности в точке требует, чтобы функция была определена в обычной окрестности ( для топологии в R)этой точки или "полуокрестности" . Поэтому для обычного любителя математики выражение

$$ \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$$

не имеет смысла. Поэтому такой чел должен сказать- функция не является непрерывной ( в смысле определений обычных учебников). Парадокса тут нет, так как в обычных учебниках для простоты утаивают топологическое определение непрерывности.

(21 Фев '12 17:02) ValeryB

Про букву I Вы правы, а про должность я догадался сразу. Даже догадался про желание постигнуть все необъятное. ОК. Такой парадокс возникает у чела, который не значет комп.чисел и он говорит #$sqrt{-1}#$Только мне ли Вам про это говорить?

(21 Фев '12 17:02) ValeryB

Я (если вы заметили по этой и другим темам) больше интересуюсь не комплексными числами, а "несуществующими" или парадоксальными объектами. Я даже опубликовала в "Математике для школьников" статейку "Пустота, наполненная смыслом".

(21 Фев '12 17:12) DocentI

Насчет парадокса: для математиков, привыкших к "парадоксу брадобрея" и т.п. это слово стало обозначать некорректное, самопротиворечивое понятие. Хотя в обычном языке парадокс - истинное утверждение, пториворечащее общепринятому мнению. А у брадобрея - антиномия. Упрощение определений не остается "безнаказанным". В тех же "обычных" учебниках пишут, что "элементарная функция непрерывна везде, где она определена". Но тогда и "моя" функция непрерывна в 0!

(21 Фев '12 17:19) DocentI

Это неточная фраза. При доказательсте непрерывности элем. функции обязательно говорят об окрестностях, где она определена. Правильная формулировка: Элемент. функция непрерывна в любой окрестности, где она определена.

(21 Фев '12 17:26) ValeryB
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

По тому определению, которое я изучал функция непрерывна в точке, если это либо изолированная точка области определения, либо значение в ней равно пределу в этой точке, так что я считаю, что эта функция непрерывна.

ссылка

отвечен 21 Фев '12 15:57

Я тоже так считаю. Тем более, что принято считать, что "всякая элементарная функция непрерывна в тех точках, где она определена". А что насчет монотонности?

(21 Фев '12 16:04) DocentI
1

Конечно монотонна! Для любых x1, x2 таких что x1>x2 f(x1)>f(x2), так как таких х1 и х2 не существует.

(21 Фев '12 17:27) dmg3

Ага! У меня есть союзник!

(21 Фев '12 21:41) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Точка x=0 является точкой разветвления приведенной функции.Для остальных x всегда можно выделить однозначную аналитическую ветвь, проведя соответствующий разрез вдоль оси, либо рассматривая Римановы поверхности.

ссылка

отвечен 21 Фев '12 15:10

Я имела в виду функцию от вещественного аргумента! Для комплексных говорить о монотонности не приходится.

(21 Фев '12 15:58) DocentI

Верность утверждения, применяемого к пустому множеству, зависит от утверждения, можно построить как верные так и неверные утверждения. Равенство f(x) = g(x) в точке, где g(x) не определена, не выполняется. Свойство монотонности не определено и не имеет даже формального смысла для функции, заданной в единственной точке.

(21 Фев '12 16:22) wusan

Согласна частично. Равенство, у которого одна из сторон не существует, неверно. Однако в учебниках такие равенства имеются (Я как-то сама "накололась" на формуле tg суммы и потеряла решение).
Утверждение, применяемое к пустому множеству, по-моему, истинно. Пример: "Все студенты, являющиеся отцами-одиночками, должны получать стипендию". Если в некоем вузе отцов-одиночек нет, нарушается ли этот приказ?
Поэтому я считаю выписанную в условии функцию строго возрастающей, строго убывающей, а также постоянной. Или надо сразу в определении оговаривать число точек в Dom(f) (такого я не видела)!

(21 Фев '12 16:31) DocentI

При проведении алгебраических преобразований с умножением и делением нужно быть осторожным, чтобы не пропустить деление или умножение на ноль, что скорее всего и произошло с тангенсами (нельзя забывать про разные области определения левой и правой частей формулы). Любое утверждение, применяемое к пустому множеству является истинным. Про неверное утверждение имелось ввиду утверждение, применяемое к множеству, содержащему пустое множество в качестве единственного элемента. Например "Пустое множество содержит 2 элемента" неверное утверждение.

(21 Фев '12 16:51) wusan

Спасибо, я действительно неудачно выразилась по поводу пустого множества. Надо было сказать "к элементам пустого множества" или "к отсутствующим элементам"

(21 Фев '12 16:53) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Как у нас бодренько пошло обсуждение! Хотелось бы услышать еще вопросы, касающиеся тонкостей определений и аксиом!

ссылка

отвечен 21 Фев '12 16:54

изменен 21 Фев '12 16:55

Ирина, отвечаю здесь, в нужном месте ответ почему-то не размещается. Я предпочитаю следовать Л.Д.Кудрявцеву, у которого я, собственно, и учился. Но если определять непрерывность по предельной точке, то да, Ваша функция непрерывна, но монотонность для нее все равно не определена.

(21 Фев '12 23:20) Андрей Юрьевич

Хотя... Изолированная точка - это все-таки не предельная, так что либо в определении явно указываем "В изолированной точке функция считается непрерывной", либо непрерывность для нее все-таки не определена.

(21 Фев '12 23:25) Андрей Юрьевич

Что касается импликации с ложной посылкой, то из ее истинности не следует, да и не может следовать никакое содержательное утверждение. Да "Если 2*2=5, то я - Папа римский" - это истинное высказывание, ну и что? f(x2) и f(x1) - это заведомо несуществующие объекты и строить между ними отношения совершенно бессмысленно.

(22 Фев '12 0:16) Андрей Юрьевич

Ну, это если за нарушение истинности не наступит какого-нибудь наказания ;-)) Где-то здесь я приводила пример с отцами-одиночками и стипендией. Приказ: "Всем студентам, являющимся отцами-одиночками, выплачивать повышенную стипендию". В конкретном вузе отцов-одиночек среди студентов нет. Нарушает ли вуз этот приказ? Нет! Впрочем, не нарушает он и приказ "Отцам-одиночкам стипендию не платить"

(22 Фев '12 0:28) DocentI

Разумеется. Я думаю, там также не нарушается и закон штата Техас о запрете стрелять в бизонов со второго этажа отеля. Дело не в этом. Истинность импликации (A=>B) совершенно не означает истинности высказывания B, да и вообще, никак на это высказывание не влияет. Но нас интересует именно высказывание B="f(x2)>f(x1)". А оно в данном случае не то ложно, а просто не существует, т.к. в нем фигурирует отношение между несуществующими объектами.

(22 Фев '12 12:26) Андрей Юрьевич

Например, что можно сказать о высказываении "все глокие кудры - красные"? Оно не истино и не ложно (т.е. собственно высказыванием в математическом смысле не является). Оно просто не будет иметь смысла до тех пор, пока мы не скажем, кто такие глокие кудры, включим мы его в какую бы то ни было импликацию или нет. Высказывания "Если 22=5, то все глокие кудры красные" и "Если 22=4, то все глокие кудры красные" в этом смысле ничем не отличаются. Они оба не являются математическими высказываниями, потому что таковым не является "высказывание" B.

(22 Фев '12 12:32) Андрей Юрьевич

Ну нет, я не проверяю в определении монотонности истинность высказывания B т.е. f(x2)>f(x1). Если САМО ПО СЕБЕ это высказывание верно - разве функция возрастает? Смотря для каких x. Мой подход более удобный: не надо следить за областью определения функции (если эта функция не описана однозначно, то область определения - нефиксирована). Правда, получается, что функция из вопроса и возрастает, и убывает, ну и что? Жалко нам, что ли?

(22 Фев '12 13:23) DocentI

С "глокой кудрой" (или куздрой?) проблема другая: разрыв между высказыванием о реальности и об абстракции. Мы не можем сказать, существует ли в реальности эта самая кудра, тем более, что это вопрос наименования. Вот присвоят какой-нибудь породе название "кудра" - она и будет существовать. Если же ТОЧНО известно, что кудр (особенно глоких) не существует, то, разумеется, она красная. И синяя. И прозрачная. И честная. И даже знает математику

(22 Фев '12 13:31) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если мы говорим именно о функции действительной переменной, то все однозначно. Непрерывность функции в точке - это равенство значения функции в точке и ее предела при стремлении к этой точке. В свою очередь, предел определяется через проколотую окрестность ("...пусть, функция определена в некоторой проколотой окрестности точки x0..."). Т.к. это условие в данном случае не выполняется, то понятие непрерывности (именно в смысле анализа функций действительной переменной!) теряет смысл. Тем более, не имеет смысла понятие монотонности, т.к. в определении монотонности фигурирует фраза "...для любых точек x1 и x2 из ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ функции, таких что x2>x1...". Таких точек просто не существет! Можно, конечно, рассматривать эту функцию, как отображение топологического пространства {0}->0, но какой в этом смысл?

ссылка

отвечен 21 Фев '12 19:04

Я уже писала выше о предикатах, множество аргументов которых пусто. В некотором смысле каждое такое утверждение истинно. Действительно, его можно переформулировать так: Если $%x\in A$%. то $%x\in B$%. Но если A - пусто, то первое утверждение ложно, а в логике из ложного утверждения следует любое другое.
Поэтому если пар различных точек не существует, то для этих (несуществующих) пар верны любые высказывания

(21 Фев '12 21:33) DocentI

Определение предела для функции, заданной в проколотой окрестности - пожалуй, слишком узкое. Лучше рассматривать его в предельной точке области определения. Но это можно давать только математикам (и то не всем: вечерникам я не даю)
Честно говоря, на подобные размышления меня навела в свое время книга по матану Хавина. Вслед за ним я определяю непрерывность до предела это проще (не надо говорить о проколотой окрестности), да и нагляднее.

(21 Фев '12 21:38) DocentI

Да, надо было сформулировать по-другому: неверно("все Л.С. знают М.")= существует Л. слон не знающий математики. Кажется, в обычной логике это так!

(23 Фев '12 1:00) DocentI

Я понял, Вы считаете, что все летающие слоны знают математику. Но я это мнение не разделяю. Кстати, это опять возвращение к вопросу - можно ли "приклеить" свойства к пустому множеству.

(23 Фев '12 15:56) Андрей Юрьевич

Разумеется, это все тот же круг вопросов. Но уверена, что вы не сможете доказать, что "не все летающие слоны знают математику"

(23 Фев '12 17:21) DocentI

Легко. Я просто докажу более сильное утверждение "Не существует, летающих слонов, знающих математику" !

(23 Фев '12 20:58) Андрей Юрьевич
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

DocentI сформулировала свои вопросы так: "Как по вашему, является ли функция $%f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{-x}$% вещественной переменной x непрерывной в точке 0? Возрастающей? Убывающей?"

По моему мнению:

1) 1-й вопрос DocentI равносилен вопросу: "Функция $%\{\langle x, y \rangle | \ \langle x, y \rangle \in \{0\} \times \{0\} \wedge y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}\}$% непрерывна в точке 0?",

2) 2-й вопрос DocentI равносилен вопросу: "Функция $%\{\langle x, y \rangle | \ \langle x, y \rangle \in \{0\} \times \{0\} \wedge y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}\}$% возрастает?",

3) 3-й вопрос DocentI равносилен вопросу: "Функция $%\{\langle x, y \rangle | \ \langle x, y \rangle \in \{0\} \times \{0\} \wedge y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}\}$% убывает?".

Поскольку $%\{\langle x, y \rangle | \ \langle x, y \rangle \in \{0\} \times \{0\} \wedge y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}\} = \{\langle 0, 0 \rangle \}$%, постольку:

1) 1-й вопрос DocentI равносилен вопросу: "Функция $%\{\langle 0, 0 \rangle \}$% непрерывна в точке 0?",

2) 2-й вопрос DocentI равносилен вопросу: "Функция $%\{\langle 0, 0 \rangle \}$% возрастает?",

3) 3-й вопрос DocentI равносилен вопросу: "Функция $%\{\langle 0, 0 \rangle \}$% убывает?".

ссылка

отвечен 17 Май '12 10:29

изменен 17 Май '12 10:58

С вопросами-то понятно. А что с ответами?

(17 Май '12 10:33) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×316
×267
×13

задан
21 Фев '12 12:55

показан
2273 раза

обновлен
17 Май '12 10:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru