|
Как по вашему, является ли функция $%f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{-x}$% от вещественной переменной x непрерывной в точке 0? Возрастающей? Убывающей? Вопрос упирается в то, считать ли верным утверждение, если оно применяется к пустому множеству объектов (например, пар чисел x, y, $%x\not= y$%). задан 21 Фев '12 12:55 
DocentI |
|
Если рассмотреть эту функцию как функцию действительного аргумента, то в согласии с индуцированной топологией на множестве {0} эта функция будет непрерывной. Но вряд ли такие примеры интересны. Так можно на них зациклиться и тогда прощай голубое небо. отвечен 21 Фев '12 13:08 
ValeryB Для продвинутых товарищей, которые знают, что такое "индуцированная топология" - конечно не интересно. Я рассчитывала на первокурсников.
(21 Фев '12 13:12)
DocentI
Хотел Вас поразить своими чудо-способностями и угадать Ваше имя - Ирина. И угадал, но, к сожалению ,затем увидел его на Вашей страничке. Так не удалось доказать свое видение на расстоянии.
(21 Фев '12 14:46)
ValeryB
Ну вот, не дала Вам блеснуть интуицией! Видимо, это буква I навела Вас на мысль? Значит, ход наших мыслей совпадает. А все же что по поводу предела?
(21 Фев '12 16:01)
DocentI
Обычное определение непрерывности в точке требует, чтобы функция была определена в обычной окрестности ( для топологии в R)этой точки или "полуокрестности" . Поэтому для обычного любителя математики выражение $$ \lim_{x \rightarrow 0} f(x)$$ не имеет смысла. Поэтому такой чел должен сказать- функция не является непрерывной ( в смысле определений обычных учебников). Парадокса тут нет, так как в обычных учебниках для простоты утаивают топологическое определение непрерывности.
(21 Фев '12 17:02)
ValeryB
Про букву I Вы правы, а про должность я догадался сразу. Даже догадался про желание постигнуть все необъятное. ОК. Такой парадокс возникает у чела, который не значет комп.чисел и он говорит #$sqrt{-1}#$Только мне ли Вам про это говорить?
(21 Фев '12 17:02)
ValeryB
Я (если вы заметили по этой и другим темам) больше интересуюсь не комплексными числами, а "несуществующими" или парадоксальными объектами. Я даже опубликовала в "Математике для школьников" статейку "Пустота, наполненная смыслом".
(21 Фев '12 17:12)
DocentI
Насчет парадокса: для математиков, привыкших к "парадоксу брадобрея" и т.п. это слово стало обозначать некорректное, самопротиворечивое понятие. Хотя в обычном языке парадокс - истинное утверждение, пториворечащее общепринятому мнению. А у брадобрея - антиномия. Упрощение определений не остается "безнаказанным". В тех же "обычных" учебниках пишут, что "элементарная функция непрерывна везде, где она определена". Но тогда и "моя" функция непрерывна в 0!
(21 Фев '12 17:19)
DocentI
Это неточная фраза. При доказательсте непрерывности элем. функции обязательно говорят об окрестностях, где она определена. Правильная формулировка: Элемент. функция непрерывна в любой окрестности, где она определена.
(21 Фев '12 17:26)
ValeryB
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
По тому определению, которое я изучал функция непрерывна в точке, если это либо изолированная точка области определения, либо значение в ней равно пределу в этой точке, так что я считаю, что эта функция непрерывна. отвечен 21 Фев '12 15:57 
dmg3 Я тоже так считаю. Тем более, что принято считать, что "всякая элементарная функция непрерывна в тех точках, где она определена". А что насчет монотонности?
(21 Фев '12 16:04)
DocentI
1
Конечно монотонна! Для любых x1, x2 таких что x1>x2 f(x1)>f(x2), так как таких х1 и х2 не существует.
(21 Фев '12 17:27)
dmg3
Ага! У меня есть союзник!
(21 Фев '12 21:41)
DocentI
|
|
Точка x=0 является точкой разветвления приведенной функции.Для остальных x всегда можно выделить однозначную аналитическую ветвь, проведя соответствующий разрез вдоль оси, либо рассматривая Римановы поверхности. отвечен 21 Фев '12 15:10 
wusan Я имела в виду функцию от вещественного аргумента! Для комплексных говорить о монотонности не приходится.
(21 Фев '12 15:58)
DocentI
Верность утверждения, применяемого к пустому множеству, зависит от утверждения, можно построить как верные так и неверные утверждения. Равенство f(x) = g(x) в точке, где g(x) не определена, не выполняется. Свойство монотонности не определено и не имеет даже формального смысла для функции, заданной в единственной точке.
(21 Фев '12 16:22)
wusan
Согласна частично. Равенство, у которого одна из сторон не существует, неверно. Однако в учебниках такие равенства имеются (Я как-то сама "накололась" на формуле tg суммы и потеряла решение).
(21 Фев '12 16:31)
DocentI
При проведении алгебраических преобразований с умножением и делением нужно быть осторожным, чтобы не пропустить деление или умножение на ноль, что скорее всего и произошло с тангенсами (нельзя забывать про разные области определения левой и правой частей формулы). Любое утверждение, применяемое к пустому множеству является истинным. Про неверное утверждение имелось ввиду утверждение, применяемое к множеству, содержащему пустое множество в качестве единственного элемента. Например "Пустое множество содержит 2 элемента" неверное утверждение.
(21 Фев '12 16:51)
wusan
Спасибо, я действительно неудачно выразилась по поводу пустого множества. Надо было сказать "к элементам пустого множества" или "к отсутствующим элементам"
(21 Фев '12 16:53)
DocentI
|
|
Как у нас бодренько пошло обсуждение! Хотелось бы услышать еще вопросы, касающиеся тонкостей определений и аксиом! отвечен 21 Фев '12 16:54
DocentI Ирина, отвечаю здесь, в нужном месте ответ почему-то не размещается. Я предпочитаю следовать Л.Д.Кудрявцеву, у которого я, собственно, и учился. Но если определять непрерывность по предельной точке, то да, Ваша функция непрерывна, но монотонность для нее все равно не определена.
(21 Фев '12 23:20)
Андрей Юрьевич
Хотя... Изолированная точка - это все-таки не предельная, так что либо в определении явно указываем "В изолированной точке функция считается непрерывной", либо непрерывность для нее все-таки не определена.
(21 Фев '12 23:25)
Андрей Юрьевич
Что касается импликации с ложной посылкой, то из ее истинности не следует, да и не может следовать никакое содержательное утверждение. Да "Если 2*2=5, то я - Папа римский" - это истинное высказывание, ну и что? f(x2) и f(x1) - это заведомо несуществующие объекты и строить между ними отношения совершенно бессмысленно.
(22 Фев '12 0:16)
Андрей Юрьевич
Ну, это если за нарушение истинности не наступит какого-нибудь наказания ;-)) Где-то здесь я приводила пример с отцами-одиночками и стипендией. Приказ: "Всем студентам, являющимся отцами-одиночками, выплачивать повышенную стипендию". В конкретном вузе отцов-одиночек среди студентов нет. Нарушает ли вуз этот приказ? Нет! Впрочем, не нарушает он и приказ "Отцам-одиночкам стипендию не платить"
(22 Фев '12 0:28)
DocentI
Разумеется. Я думаю, там также не нарушается и закон штата Техас о запрете стрелять в бизонов со второго этажа отеля. Дело не в этом. Истинность импликации (A=>B) совершенно не означает истинности высказывания B, да и вообще, никак на это высказывание не влияет. Но нас интересует именно высказывание B="f(x2)>f(x1)". А оно в данном случае не то ложно, а просто не существует, т.к. в нем фигурирует отношение между несуществующими объектами.
(22 Фев '12 12:26)
Андрей Юрьевич
Например, что можно сказать о высказываении "все глокие кудры - красные"? Оно не истино и не ложно (т.е. собственно высказыванием в математическом смысле не является). Оно просто не будет иметь смысла до тех пор, пока мы не скажем, кто такие глокие кудры, включим мы его в какую бы то ни было импликацию или нет. Высказывания "Если 22=5, то все глокие кудры красные" и "Если 22=4, то все глокие кудры красные" в этом смысле ничем не отличаются. Они оба не являются математическими высказываниями, потому что таковым не является "высказывание" B.
(22 Фев '12 12:32)
Андрей Юрьевич
Ну нет, я не проверяю в определении монотонности истинность высказывания B т.е. f(x2)>f(x1). Если САМО ПО СЕБЕ это высказывание верно - разве функция возрастает? Смотря для каких x. Мой подход более удобный: не надо следить за областью определения функции (если эта функция не описана однозначно, то область определения - нефиксирована). Правда, получается, что функция из вопроса и возрастает, и убывает, ну и что? Жалко нам, что ли?
(22 Фев '12 13:23)
DocentI
С "глокой кудрой" (или куздрой?) проблема другая: разрыв между высказыванием о реальности и об абстракции. Мы не можем сказать, существует ли в реальности эта самая кудра, тем более, что это вопрос наименования. Вот присвоят какой-нибудь породе название "кудра" - она и будет существовать. Если же ТОЧНО известно, что кудр (особенно глоких) не существует, то, разумеется, она красная. И синяя. И прозрачная. И честная. И даже знает математику
(22 Фев '12 13:31)
DocentI
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
Если мы говорим именно о функции действительной переменной, то все однозначно. Непрерывность функции в точке - это равенство значения функции в точке и ее предела при стремлении к этой точке. В свою очередь, предел определяется через проколотую окрестность ("...пусть, функция определена в некоторой проколотой окрестности точки x0..."). Т.к. это условие в данном случае не выполняется, то понятие непрерывности (именно в смысле анализа функций действительной переменной!) теряет смысл. Тем более, не имеет смысла понятие монотонности, т.к. в определении монотонности фигурирует фраза "...для любых точек x1 и x2 из ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ функции, таких что x2>x1...". Таких точек просто не существет! Можно, конечно, рассматривать эту функцию, как отображение топологического пространства {0}->0, но какой в этом смысл? отвечен 21 Фев '12 19:04 
Андрей Юрьевич Я уже писала выше о предикатах, множество аргументов которых пусто. В некотором смысле каждое такое утверждение истинно. Действительно, его можно переформулировать так: Если $%x\in A$%. то $%x\in B$%. Но если A - пусто, то первое утверждение ложно, а в логике из ложного утверждения следует любое другое.
(21 Фев '12 21:33)
DocentI
Определение предела для функции, заданной в проколотой окрестности - пожалуй, слишком узкое. Лучше рассматривать его в предельной точке области определения. Но это можно давать только математикам (и то не всем: вечерникам я не даю)
(21 Фев '12 21:38)
DocentI
Да, надо было сформулировать по-другому: неверно("все Л.С. знают М.")= существует Л. слон не знающий математики. Кажется, в обычной логике это так!
(23 Фев '12 1:00)
DocentI
Я понял, Вы считаете, что все летающие слоны знают математику. Но я это мнение не разделяю. Кстати, это опять возвращение к вопросу - можно ли "приклеить" свойства к пустому множеству.
(23 Фев '12 15:56)
Андрей Юрьевич
Разумеется, это все тот же круг вопросов. Но уверена, что вы не сможете доказать, что "не все летающие слоны знают математику"
(23 Фев '12 17:21)
DocentI
Легко. Я просто докажу более сильное утверждение "Не существует, летающих слонов, знающих математику" !
(23 Фев '12 20:58)
Андрей Юрьевич
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
DocentI сформулировала свои вопросы так: "Как по вашему, является ли функция $%f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{-x}$% вещественной переменной x непрерывной в точке 0? Возрастающей? Убывающей?" По моему мнению: 1) 1-й вопрос DocentI равносилен вопросу: "Функция $%\{\langle x, y \rangle | \ \langle x, y \rangle \in \{0\} \times \{0\} \wedge y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}\}$% непрерывна в точке 0?", 2) 2-й вопрос DocentI равносилен вопросу: "Функция $%\{\langle x, y \rangle | \ \langle x, y \rangle \in \{0\} \times \{0\} \wedge y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}\}$% возрастает?", 3) 3-й вопрос DocentI равносилен вопросу: "Функция $%\{\langle x, y \rangle | \ \langle x, y \rangle \in \{0\} \times \{0\} \wedge y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}\}$% убывает?". Поскольку $%\{\langle x, y \rangle | \ \langle x, y \rangle \in \{0\} \times \{0\} \wedge y = \sqrt{x} + \sqrt{-x}\} = \{\langle 0, 0 \rangle \}$%, постольку: 1) 1-й вопрос DocentI равносилен вопросу: "Функция $%\{\langle 0, 0 \rangle \}$% непрерывна в точке 0?", 2) 2-й вопрос DocentI равносилен вопросу: "Функция $%\{\langle 0, 0 \rangle \}$% возрастает?", 3) 3-й вопрос DocentI равносилен вопросу: "Функция $%\{\langle 0, 0 \rangle \}$% убывает?". отвечен 17 Май '12 10:29 
Галактион С вопросами-то понятно. А что с ответами?
(17 Май '12 10:33)
DocentI
|
Ответ Valery об области определения функций. Как по вашему, будет ли функция $%x\sqrt{sin(1/x)}$% Иметь предел в 0? А ведь она не определеная ни в какой окрестности 0! Правда, она не существует в 0 (разве что доопределить, но тогда получится не элементарная функция)