Задача стоит так: найти потенциал объемных масс, потенциал простого и потенциал двойного слоя с плотностями $%r^3, sin(\phi)sin(\psi),sin(\phi)cos(\psi) $% соответственно для уравнения Лапласа внутри области : $%x^2+y^2+z^2\leqslant 1.$%

  1. Потенциал объемных масс: общая формула $%V_3(x)= \int\limits_{y\in V} \frac{ \rho (y) dy} {|x-y|}$%. Так как в моем случае $%\rho = r^3$%, то можно сделать замену координат такую, что $%x = (0, 0, R)$%, тогда $%|x-y| = \sqrt{R^2-2rRcos(\phi)+r^2}$% и искомый интеграл будет иметь вид $%V_3(x)= \int\limits_{0}^{1} dr\int\limits_{0}^{2\pi}d\psi \int \limits_{0}^{\pi}\frac{ r^3sin(\phi)d\phi} {\sqrt{R^2-2rRcos(\phi)+r^2}}$%. Тут остается просто посчитать, но у меня есть сомнения, что я где то ошибаюсь с такой заменой. Подскажите верно ли я все сделал или нет?
  2. Потенциал простого и двойного слоя: знаю общие формулы $%V_3^0(x)= \int\limits_{S} \frac{ \mu (y) dS_y} {|x-y|}$% и $%V_3^1(x)= \int\limits_{S} \frac{ \nu (y) cos (\phi_{xy})dS_y} {|x-y|^2}$% ($%\phi_{xy}$% - угол между вектором $%x-y$% и нормалью $%n_y$% в точке $%y \in S$%), также знаю что нужно подходящую замену переменных в декартовой системе координат — так, чтобы точка, в которой вычисляется потенциал, оказалась на полярной оси. Но не совсем понимаю как это сделать из за того, что функции плотностей зависят и от $%\phi$%, и от $%\psi$%.

Подскажите верно ли я подошел к задаче в пункте 1 и как решить задачу в пункте 2.

задан 10 Окт '20 21:36

изменен 11 Окт '20 15:15

10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,407
×19
×16
×3

задан
10 Окт '20 21:36

показан
155 раз

обновлен
11 Окт '20 16:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru