Случайным подмножеством $%Г(n, p)$% называется случайный элемент, принимающий значения во множестве подмножеств $%Г$%, где $%Г$% - какое-то множество. $$P (Γ(n,p) = F) = p^{|F |} (1 − p)^{n−|F|}$$ для любого $%F ⊂ Γ.$%

Случайным подмножеством $%Γ(n, m)$%, $%m = 0, . . . , n$%, называется случайный элемент, принимающий значения во множестве подмножеств $%Γ$% мощности $%m$% и имеющий на нем равномерное распределение:

$$P (Γ(n,m) = F) = 1/K$$ для любого $%F ⊂ Γ$% с условием $%|F| = m$%. Где $$K=\begin{pmatrix} n\\ m \end{pmatrix}$$

Мне нужно доказать вот этот факт: $%P (Γ(n, p) \sim Q| |Γ(n, p)| = m) = P (Γ(n, m) \sim Q)$%, здесь $%\sim$% это обладание множества каким-то свойством. Помогите, пожалуйста, казалось бы интуитивно понятный факт, но формально не получается доказать. Надеюсь понятно объянсила опредления, они вроде несложные. По идее тут даже необязательно знать распределения, мне так кажется.

задан 13 Окт 2:38

10|600 символов нужно символов осталось
1

Это тавтологичная проверка, необходимость которой говорит только о том, что понятные вещи решили выразить на менее понятном формальном языке. Так иногда бывает нужно для облегчения последующих рассуждений на языке формул (а не их смысла), но я считаю, что такие явления чаще всего свидетельствуют о неудачном выборе обозначений :)

У нас слева имеется условная вероятность вида P(A|B). Она равна P(AB)/P(B). Что такое P(B)? Это вероятность того, что случайный элемент (подмножество) имеет мощность m. То есть он равен одному из элементов списка, в котором содержатся все m-элементные подмножества.

Для отдельно взятого такого подмножества, вероятность быть ему равным составляет p^m(1-p)^{n-m}. Сложив все такие вероятности, мы умножим предыдущее число на C_n^m -- число элементов списка.

Теперь что такое P(AB)? У нас имеется конечное число m-элементных подмножеств, обладающих свойством Q. Пусть это число равно k. Вероятность события P(AB) равна вероятности того, что случайно взятый элемент имеет мощность m, и он совпал с одним из подмножеств этого списка. Для любого фиксированного элемента, вероятность его выбора равна всё тому же числу p^m(1-p)^{n-m}, но здесь мы складываем k таких величин, то есть умножаем предыдущее число на k.

Понятно, что после деления P(AB) на P(B), одинаковые величины сократятся, и останется k/C_n^m. А это значение правой части равенства, где подмножество должно принадлежать списку из k элементов. Вероятность принять фиксированное значение равно 1/K, и складываются k таких величин, после чего имеем k/K, где знаменатель -- число сочетаний.

Как видим, тут глубокого смысла нет, а есть переливание из пустого в порожнее :)

ссылка

отвечен 13 Окт 4:09

@falcao: спасибо вам!

(13 Окт 21:05) Klin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,990

задан
13 Окт 2:38

показан
70 раз

обновлен
13 Окт 21:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru