Пусть $%f: C[0,1] \to \mathbb{R}$% отображение, такое что:

$$\forall x \in C[0,1] \; \; \; f(x) = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} x(t)dt - \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 x(t)dt$$

Показать, что:

$$\sup_{x \in K_1(0)} f(x) = 1 \neq f(x) \; \forall x : \rho_{\infty}(x,0) \leq 1 $$

То есть супремум по иксам на единичном шаре не достигается ни на одной точке шара. Также имеется ввиду, что мы работаем с м.п. $%(C[0,1], \rho_{\infty})$%

задан 14 Окт 23:01

1

@mat_onales: удобнее и проще писать ||x|| вместо расстояния от нуля.

Если ||x||<=M, то интеграл по отрезку [a,b] не больше M(b-a), причём для непрерывной функции имеет место равенство <=> x тождественно равна M. Это легко доказывается от противного при помощи свойств интегралов.

То, что sup равен 1, доказывается рассмотрением кусочно-линейных функций, равных 1 на [0,1/2-eps] и -1 на [1/2+eps,1]. Равенство не достигается, так как оно возможно только для функций, которые равны 1 на [0,1/2] и -1 на правой половине.

(14 Окт 23:21) falcao

@falcao, спасибо за ответ! Есть одно уточнение, а кусочно-линейная функция такая, что она равна 1 на [0,1/2-eps], -1 на [1/2+eps,1] и некоторой прямой от (1/2-eps,1) до (1/2+eps,-1) будет принадлежать C[0,1]? Насколько я понял функция, равная 1 на [0,1/2] и -1 на правой половине, этому пространству не принадлежит.

(15 Окт 1:14) mat_onales

@mat_onales, не "некоторой прямой", а вполне конкретной, той, которая соединяет две горизонтальные, т.е. итоговая функция непрерывна.

(15 Окт 4:20) caterpillar

@mat_onales: там график состоит из трёх отрезков. Два крайних задают средний. Там все точки соединяются между собой. Такая функция всегда непрерывна.

(15 Окт 10:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,282
×658
×129
×32
×7

задан
14 Окт 23:01

показан
62 раза

обновлен
15 Окт 10:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru