Доказать тождество: $$ \binom{n}{1}-\frac{ 1 }{ 2 }\binom{n}{2} +\frac{ 1 }{ 3 }\binom{n}{3}- \ldots +(-1)^{n-1} \frac{ 1 }{ n }\binom{n}{n} =1+\frac{ 1 }{ 2 }+\frac{ 1 }{ 3 } + \ldots +\frac{ 1 }{ n }$$

задан 17 Окт 23:48

изменен 17 Окт 23:49

10|600 символов нужно символов осталось
2

Заметим, что $%\frac1k=\int\limits_0^1x^{k-1}\,dx$% при $%1\le k\le n$%. Поэтому в левой части находится интеграл от $%0$% до $%1$% от многочлена $%C_n^1-xC_n^2+x^2C_n^3-\cdots+(-1)^{n-1}x^{n-1}C_n^n$%. Это же можно записать как $%\frac{1-(1-x)^n}x$% при $%x\ne0$% в соответствии с биномиальной формулой.

Понятно, что при замене $%x\mapsto1-x$% интеграл от функции не изменится. Функция примет вид $%\frac{1-x^n}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^{n-1}$%, и интеграл от неё по единичному отрезку будет равен правой части равенства.

ссылка

отвечен 18 Окт 1:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,319
×770

задан
17 Окт 23:48

показан
56 раз

обновлен
18 Окт 1:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru