множества - Вопросы по теории множеств

Содержательного отличия одного объекта от другого нет. Но тут есть формальный аспект.

Прежде всего, конечно, последовательность -- это понятие фундаментальное. Вспомним точное определение. Вспомним понятие функции. У неё есть область определения. Как правило, это числовая прямая, или промежуток. Если f -- имя функции, x -- значение аргумента, то через f(x) обозначают значение функции в точке x (или на элементе x).

Последовательность -- это частный случай функции. Если последовательность конечна и состоит из n членов, то область определения является множество {1,2,...,n}. Тогда член с номером i можно было бы так же и обозначить в виде f(i). Но, как правило, делают по-другому: если a -- имя последовательности, то пишут не a(i) (хотя так тоже можно), а a_i с нижним индексом.

Если последовательность бесконечна, то её областью определения как функции является N, то есть всё множество натуральных чисел.

Как правило, когда речь идёт о последовательностях, то их записывают вообще без скобок. Скажем, 1, 4, 9, 16. При работе с последовательностями фиксированной длины удобно заключать запись в скобки. Здесь можно написать (1,4,9,16), и получится числовой вектор с четырьмя координатами. Иногда круглые скобки могут использоваться для чего-то другого, и тогда удобно использовать угловые, так как последние больше ни подо что не заняты. Запись типа <1,4,9,16> можно назвать кортежем из элементов, как это иногда делают в комбинаторике. Мне нравится также термин "упорядоченный набор".

Здесь есть следующая формальная вещь. Если мы задумаемся о том, что такое функция, то придём к такой концепции. В школе нас учили, что функция с областью определения A и значениями из B -- это правило, которое каждому элементу множества A ставит в соответствие один определённый элемент множества B. Это понятное определение, но с формальной точки зрения, непонятно, что такое правило. Если отказаться от этого понятия (а определить его сложно), то окажется, что функция задаётся своим графиком. Тогда это и принимается за определение. График же состоит из упорядоченных пар вида <a,b>. Значит, надо сначала определить понятие упорядоченной пары. Есть несколько способов это сделать: определение по Куратовскому, по Винеру, и так далее. Как правило, в учебных курсах эти конструкции не приводятся, так как они далее нигде не используются.

Если упорядоченная пара определена (для любых объектов a,b), то далее определяют упорядоченную тройку < a,b,c > как упорядоченную пару < < a,b > ,c >. И далее по индукции: упорядоченная четвёрка < a,b,c,d > есть < < a,b,c >,d >, и так далее. На этом пути возникает понятие упорядоченной n-ки (читается: "энки"), она же -- упорядоченный набор из n элементов, она же кортеж из n элементов.

Содержательного отличия хотя и нет, но в этом смысле есть чисто формальная разница между упорядоченной четвёркой из a,b,c,d, и последовательностью из этих же элементов. Ведь во втором смысле это функция f такая, что f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c, f(4)=d, а она есть не что иное как свой собственный график, то есть множество из четырёх упорядоченных пар вида < 1, a >, < 2, b >, < 3, c > и < 4, d >.

Такая вот за всем этим стоит "формалистика". Кому-то подобные детали интересны, кому-то нет.

По поводу записей в пунктах 2.1 и 2.2: на мой взгляд, они совершенно неудачны, и непонятно даже, какую идею выражают. В 2.1 написано, что A=(1,2,3), что вроде бы однозначно задаёт A, чем бы они ни являлось. За этим следует, что a принадлежит A. Принадлежать можно только множеству. Тогда, если A есть множество из элементов 1,2,3, то скобки требуются фигурные, и при этом порядок перечисления элементов не важен. А в последовательности или в кортеже он важен.

В пункте 2.2, на мой взгляд, написана "абракадабра". Там A определяется через a, и потом говорится, что a якобы принадлежит A. Это явная ошибка. Я не знаю, что хотели выразить (если мне объяснят, я могу сказать, как правильно было выразить ту же мысль). Но знак принадлежности -- вещь очень строгая, и он употребляется только по отношению к элементам множеств. Выражать в таком виде мысль, что число 2 является членом последовательности, скажем, 6, 3, 4, 2, 1, 5, недопустимо.