Добрый день. Ввиду того, что в разных источниках пишут по разному, хочу уточнить: задан 19 Окт '20 19:14 smilefox |
Содержательного отличия одного объекта от другого нет. Но тут есть формальный аспект. Прежде всего, конечно, последовательность -- это понятие фундаментальное. Вспомним точное определение. Вспомним понятие функции. У неё есть область определения. Как правило, это числовая прямая, или промежуток. Если f -- имя функции, x -- значение аргумента, то через f(x) обозначают значение функции в точке x (или на элементе x). Последовательность -- это частный случай функции. Если последовательность конечна и состоит из n членов, то область определения является множество {1,2,...,n}. Тогда член с номером i можно было бы так же и обозначить в виде f(i). Но, как правило, делают по-другому: если a -- имя последовательности, то пишут не a(i) (хотя так тоже можно), а a_i с нижним индексом. Если последовательность бесконечна, то её областью определения как функции является N, то есть всё множество натуральных чисел. Как правило, когда речь идёт о последовательностях, то их записывают вообще без скобок. Скажем, 1, 4, 9, 16. При работе с последовательностями фиксированной длины удобно заключать запись в скобки. Здесь можно написать (1,4,9,16), и получится числовой вектор с четырьмя координатами. Иногда круглые скобки могут использоваться для чего-то другого, и тогда удобно использовать угловые, так как последние больше ни подо что не заняты. Запись типа <1,4,9,16> можно назвать кортежем из элементов, как это иногда делают в комбинаторике. Мне нравится также термин "упорядоченный набор". Здесь есть следующая формальная вещь. Если мы задумаемся о том, что такое функция, то придём к такой концепции. В школе нас учили, что функция с областью определения A и значениями из B -- это правило, которое каждому элементу множества A ставит в соответствие один определённый элемент множества B. Это понятное определение, но с формальной точки зрения, непонятно, что такое правило. Если отказаться от этого понятия (а определить его сложно), то окажется, что функция задаётся своим графиком. Тогда это и принимается за определение. График же состоит из упорядоченных пар вида <a,b>. Значит, надо сначала определить понятие упорядоченной пары. Есть несколько способов это сделать: определение по Куратовскому, по Винеру, и так далее. Как правило, в учебных курсах эти конструкции не приводятся, так как они далее нигде не используются. Если упорядоченная пара определена (для любых объектов a,b), то далее определяют упорядоченную тройку < a,b,c > как упорядоченную пару < < a,b > ,c >. И далее по индукции: упорядоченная четвёрка < a,b,c,d > есть < < a,b,c >,d >, и так далее. На этом пути возникает понятие упорядоченной n-ки (читается: "энки"), она же -- упорядоченный набор из n элементов, она же кортеж из n элементов. Содержательного отличия хотя и нет, но в этом смысле есть чисто формальная разница между упорядоченной четвёркой из a,b,c,d, и последовательностью из этих же элементов. Ведь во втором смысле это функция f такая, что f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c, f(4)=d, а она есть не что иное как свой собственный график, то есть множество из четырёх упорядоченных пар вида < 1, a >, < 2, b >, < 3, c > и < 4, d >. Такая вот за всем этим стоит "формалистика". Кому-то подобные детали интересны, кому-то нет. По поводу записей в пунктах 2.1 и 2.2: на мой взгляд, они совершенно неудачны, и непонятно даже, какую идею выражают. В 2.1 написано, что A=(1,2,3), что вроде бы однозначно задаёт A, чем бы они ни являлось. За этим следует, что a принадлежит A. Принадлежать можно только множеству. Тогда, если A есть множество из элементов 1,2,3, то скобки требуются фигурные, и при этом порядок перечисления элементов не важен. А в последовательности или в кортеже он важен. В пункте 2.2, на мой взгляд, написана "абракадабра". Там A определяется через a, и потом говорится, что a якобы принадлежит A. Это явная ошибка. Я не знаю, что хотели выразить (если мне объяснят, я могу сказать, как правильно было выразить ту же мысль). Но знак принадлежности -- вещь очень строгая, и он употребляется только по отношению к элементам множеств. Выражать в таком виде мысль, что число 2 является членом последовательности, скажем, 6, 3, 4, 2, 1, 5, недопустимо. отвечен 19 Окт '20 20:22 falcao falcao, большое спасибо за развёрнутый ответ. Я начинаю понимать, функция с одним аргументом - это множество упорядоченных пар, причём в общем случае бесконечное. И запись a_i - это почти тоже самое, только i обычно является переменной принадлежащей к множеству натуральных чисел. Последовательность, в отличие от кортежа благодаря такому подходу адресуется. Скажите пожалуйста, являются ли допустимыми записи: A = {a}, если a - переменная, то А - бесконечное множество значений переменной А; если y = f(x), то имеется бесконечное множество f = {<x, y>}?
(19 Окт '20 21:45)
smilefox
@smilefox: маленькая поправка: принадлежать можно МНОЖЕСТВУ, без предлога "к". Можно относиться К чему-то, но принадлежать можно только чему-то. Запись A={a} означает, что множество A одноэлементно и состоит из a. Если a -- переменная, и она пробегает какое-то множество значений, то пишут так: A={a | условие на a}. Например, A={x | x > 0} есть множество положительных действительных чисел. Иногда до вертикальной черты пишут, чему принадлежит элемент. Это универсальный способ задания множеств, он встречается очень часто. Для f будет { < x, y > | x in A, y=f(x) }.
(19 Окт '20 22:15)
falcao
@falcao: Спасибо! :) Позволю себе ещё один комментарий. При определении множества с помощью переменных, например, A = {<x,y> | x \in N, 1 <= x <= 3, y = x + 2}, мы одновременно синтаксически выражаем поля итоговой таблицы - x и y. Однако, предположим, множество задано напрямую, A = {<1,3>, <2,4>, <3,5>}. Как можно от такой формы перейти к y=f(x), то есть как элементам кортежа задать имена? Шаблон? Можно ли так и написать словами: А является множеством упорядоченных пар со структурой <x,y> и задано таблицей... Или в этом случае принято поступать как-то иначе?
(19 Окт '20 23:07)
smilefox
@smilefox: мы вправе задавать множество перечислением его элементов. При этом совершенно не обязательно должна существовать простая аналитическая формула. И, конечно, функцию с конечной областью определения можно задавать таблицей из двух строк. Этому учат в школьных учебниках. Только на этом уровне не следует говорить об упорядоченных парах.
(19 Окт '20 23:29)
falcao
@falcao: я почему интересуюсь, с какого-то момента я понял, что для движения дальше мне необходимо научиться правильно излагать сущность дела, будь-то постановка эксперимента или какие-то более теоретические изыскания. А среди учебной литературы есть пробелы, поэтому мне крайне важно посмотреть на то, как подходит к вопросу постановки задачи профессионал. Я очень рад, что Вы уделили мне немного своего времени. И в будущем я был бы рад поучиться у Вас. :)
(19 Окт '20 23:41)
smilefox
показано 5 из 6
показать еще 1
|