Добрый день. Ввиду того, что в разных источниках пишут по разному, хочу уточнить:
1) Чем отличается кортеж (в угловых скобках) от последовательности (в круглых скобках)?
2) Как правильно обозначить некий элемент последовательности?
Например, встречал такую неоднозначность:
2.1) $$A = (1, 2, 3), a \in A$$ 2.2) $$A = (1, a, 2), a \in A$$ 3) Является ли последовательность фундаментальным понятием?

задан 19 Окт 19:14

изменен 19 Окт 19:48

10|600 символов нужно символов осталось
0

Содержательного отличия одного объекта от другого нет. Но тут есть формальный аспект.

Прежде всего, конечно, последовательность -- это понятие фундаментальное. Вспомним точное определение. Вспомним понятие функции. У неё есть область определения. Как правило, это числовая прямая, или промежуток. Если f -- имя функции, x -- значение аргумента, то через f(x) обозначают значение функции в точке x (или на элементе x).

Последовательность -- это частный случай функции. Если последовательность конечна и состоит из n членов, то область определения является множество {1,2,...,n}. Тогда член с номером i можно было бы так же и обозначить в виде f(i). Но, как правило, делают по-другому: если a -- имя последовательности, то пишут не a(i) (хотя так тоже можно), а a_i с нижним индексом.

Если последовательность бесконечна, то её областью определения как функции является N, то есть всё множество натуральных чисел.

Как правило, когда речь идёт о последовательностях, то их записывают вообще без скобок. Скажем, 1, 4, 9, 16. При работе с последовательностями фиксированной длины удобно заключать запись в скобки. Здесь можно написать (1,4,9,16), и получится числовой вектор с четырьмя координатами. Иногда круглые скобки могут использоваться для чего-то другого, и тогда удобно использовать угловые, так как последние больше ни подо что не заняты. Запись типа <1,4,9,16> можно назвать кортежем из элементов, как это иногда делают в комбинаторике. Мне нравится также термин "упорядоченный набор".

Здесь есть следующая формальная вещь. Если мы задумаемся о том, что такое функция, то придём к такой концепции. В школе нас учили, что функция с областью определения A и значениями из B -- это правило, которое каждому элементу множества A ставит в соответствие один определённый элемент множества B. Это понятное определение, но с формальной точки зрения, непонятно, что такое правило. Если отказаться от этого понятия (а определить его сложно), то окажется, что функция задаётся своим графиком. Тогда это и принимается за определение. График же состоит из упорядоченных пар вида <a,b>. Значит, надо сначала определить понятие упорядоченной пары. Есть несколько способов это сделать: определение по Куратовскому, по Винеру, и так далее. Как правило, в учебных курсах эти конструкции не приводятся, так как они далее нигде не используются.

Если упорядоченная пара определена (для любых объектов a,b), то далее определяют упорядоченную тройку < a,b,c > как упорядоченную пару < < a,b > ,c >. И далее по индукции: упорядоченная четвёрка < a,b,c,d > есть < < a,b,c >,d >, и так далее. На этом пути возникает понятие упорядоченной n-ки (читается: "энки"), она же -- упорядоченный набор из n элементов, она же кортеж из n элементов.

Содержательного отличия хотя и нет, но в этом смысле есть чисто формальная разница между упорядоченной четвёркой из a,b,c,d, и последовательностью из этих же элементов. Ведь во втором смысле это функция f такая, что f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c, f(4)=d, а она есть не что иное как свой собственный график, то есть множество из четырёх упорядоченных пар вида < 1, a >, < 2, b >, < 3, c > и < 4, d >.

Такая вот за всем этим стоит "формалистика". Кому-то подобные детали интересны, кому-то нет.

По поводу записей в пунктах 2.1 и 2.2: на мой взгляд, они совершенно неудачны, и непонятно даже, какую идею выражают. В 2.1 написано, что A=(1,2,3), что вроде бы однозначно задаёт A, чем бы они ни являлось. За этим следует, что a принадлежит A. Принадлежать можно только множеству. Тогда, если A есть множество из элементов 1,2,3, то скобки требуются фигурные, и при этом порядок перечисления элементов не важен. А в последовательности или в кортеже он важен.

В пункте 2.2, на мой взгляд, написана "абракадабра". Там A определяется через a, и потом говорится, что a якобы принадлежит A. Это явная ошибка. Я не знаю, что хотели выразить (если мне объяснят, я могу сказать, как правильно было выразить ту же мысль). Но знак принадлежности -- вещь очень строгая, и он употребляется только по отношению к элементам множеств. Выражать в таком виде мысль, что число 2 является членом последовательности, скажем, 6, 3, 4, 2, 1, 5, недопустимо.

ссылка

отвечен 19 Окт 20:22

falcao, большое спасибо за развёрнутый ответ. Я начинаю понимать, функция с одним аргументом - это множество упорядоченных пар, причём в общем случае бесконечное. И запись a_i - это почти тоже самое, только i обычно является переменной принадлежащей к множеству натуральных чисел. Последовательность, в отличие от кортежа благодаря такому подходу адресуется. Скажите пожалуйста, являются ли допустимыми записи: A = {a}, если a - переменная, то А - бесконечное множество значений переменной А; если y = f(x), то имеется бесконечное множество f = {<x, y>}?

(19 Окт 21:45) smilefox

@smilefox: маленькая поправка: принадлежать можно МНОЖЕСТВУ, без предлога "к". Можно относиться К чему-то, но принадлежать можно только чему-то.

Запись A={a} означает, что множество A одноэлементно и состоит из a. Если a -- переменная, и она пробегает какое-то множество значений, то пишут так: A={a | условие на a}. Например, A={x | x > 0} есть множество положительных действительных чисел. Иногда до вертикальной черты пишут, чему принадлежит элемент. Это универсальный способ задания множеств, он встречается очень часто.

Для f будет { < x, y > | x in A, y=f(x) }.

(19 Окт 22:15) falcao

@falcao: Спасибо! :) Позволю себе ещё один комментарий. При определении множества с помощью переменных, например, A = {<x,y> | x \in N, 1 <= x <= 3, y = x + 2}, мы одновременно синтаксически выражаем поля итоговой таблицы - x и y. Однако, предположим, множество задано напрямую, A = {<1,3>, <2,4>, <3,5>}. Как можно от такой формы перейти к y=f(x), то есть как элементам кортежа задать имена? Шаблон? Можно ли так и написать словами: А является множеством упорядоченных пар со структурой <x,y> и задано таблицей... Или в этом случае принято поступать как-то иначе?

(19 Окт 23:07) smilefox

@smilefox: мы вправе задавать множество перечислением его элементов. При этом совершенно не обязательно должна существовать простая аналитическая формула. И, конечно, функцию с конечной областью определения можно задавать таблицей из двух строк. Этому учат в школьных учебниках. Только на этом уровне не следует говорить об упорядоченных парах.

(19 Окт 23:29) falcao

@falcao: я почему интересуюсь, с какого-то момента я понял, что для движения дальше мне необходимо научиться правильно излагать сущность дела, будь-то постановка эксперимента или какие-то более теоретические изыскания. А среди учебной литературы есть пробелы, поэтому мне крайне важно посмотреть на то, как подходит к вопросу постановки задачи профессионал. Я очень рад, что Вы уделили мне немного своего времени. И в будущем я был бы рад поучиться у Вас. :)

(19 Окт 23:41) smilefox

@smilefox: да, обращайтесь, если нужно. Если Вы используете при описании язык и терминологии теории множеств, то там надо хорошо изучить "догматику". А если язык более свободный, то достаточно следовать принятым где-либо образцам, но из заслуживающих доверия источников.

(19 Окт 23:49) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×637

задан
19 Окт 19:14

показан
85 раз

обновлен
19 Окт 23:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru