Доказать, что диффеоморфизмы сохраняют размерность Хаусдорфа-Безиковича фрактальных множеств.

задан 21 Фев '12 15:59

10|600 символов нужно символов осталось
1

Фрактал можно определить как A = lim A(k), при k стремящимся к бесконечности, где A(k) - система множеств, причем A(k+1) получается из A(k) в результате линейно сжимающего мультиотображения F(s,p), переводящего каждое из множеств, входящих в A(k) в s подобных ему множеств с коэффициентом подобия 1/p. A(k+1) = F(s,p)(A(k)).Размерность Хаусдорфа-Безиковича для такого фрактала r=ln(s)/ln(p). Пусть, G - некоторый диффеоморфизм. Обозначим B(k)=G(A(k)). Тогда B = G(A) = G(lim A(k+1)) = lim G(A(k+1)) = lim G(F(s,p)(A(k))) = lim F(s,p)(G(A(k))) = lim F(s,p)(B(k)), т.к. каждая компонента F- тоже диффеоморфизм, а два диффеоморфизма коммутативны. Обозначив B = lim B(k), получаем фрактал той же размерности. Кстати, из доказательства следует, что G достаточно быть гомеоморфизмом.

ссылка

отвечен 21 Фев '12 23:02

На самом деле доказательство сложнее, но ответ принимается с пояснением. Для гомеоморфизмов метрика не сохраняется, как минимум необходимо наложить условие Липшица. Исчерпывающее раскрытие темы можно найти в книге Р.М. Кроновер "Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории" (глава 5)

(22 Фев '12 8:53) wusan

Не совсем понял, если ответ известен, зачем спрашивать?

(22 Фев '12 11:29) Андрей Юрьевич

Существует множество путей, каждый идет своим.

(22 Фев '12 11:36) wusan

Что такое гомеоморфизм, для которого не выполняются условия Липшица? Непрерывность преобразования - это более жесткое условие. Без непрерывности, разумеется, операторы F и G не будут коммутировать.

(23 Фев '12 13:44) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×55

задан
21 Фев '12 15:59

показан
626 раз

обновлен
23 Фев '12 13:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru