Найдите все значения $%a$%, при которых уравнение $$\frac {8}{\pi} \arctan{(1+\frac{x}{4})} \log_{\sqrt{17}+4}{(x+4+\sqrt{x^2+8x+17})}=a^2-a \sin{(\pi \frac{x^2+8x-64}{32})}-2$$ имеет единственное решение, и определите это решение

Квадратичная функция с переменной $%a$% в правой части несложно анализируется. Выражение под логарифмом неотрицательно при любых значениях $%x$%. Никаких симметрий, на первый взгляд, нет. Помогите, пожалуйста, разобраться.

задан 11 Авг '13 17:29

10|600 символов нужно символов осталось
3

$$\frac {8}{\pi}\arctan{(1+\frac{x}{4})}\log_{\sqrt{17}+4}{(x+4+\sqrt{x^2+8x+17})}=a^2-a \sin{(\pi \frac{x^2+8x-64}{32})}-2.$$ Пусть $%x+4=y,$% тогда уравнение примет вид: $$\frac {8}{\pi}\arctan{(\frac{y}{4})}\log_{\sqrt{17}+4}{(y+\sqrt{y^2+1})}=a^2-a \sin{(\pi \frac{y^2-80}{32})}-2.$$ Понятно, что функции, выражениями которых являются левые и правые части нового уравнения - четны. Легко понять, что если $%y - $% решение, то и $%-y - $% тоже решение, поэтому необходимо $%y=0.$% Подставляя $%y=0$% в уравнение, получим $%a^2+a-2=0;a=1,a=-2.$% Проверьте каждое из этих значений (первое проходит, второе нет).

ссылка

отвечен 11 Авг '13 20:17

изменен 11 Авг '13 20:21

Большое спасибо @Anatoliy!
А как вы догадались сделать такую замену? И как вы догадались, что после такой замены появляется симметрия относительно замены $%y=-y$%, просто предположили? (если бы вы не сказали, я бы сходу не увидел симметрию, она хорошо спрятана)

(11 Авг '13 21:36) Silence

Все в единственности решения. Когда была произведена такая замена, то симметрия стала очевидной. Я думаю, что и у Вас со временем будет проявляться в большей степени математическое чутье. Успехов!

(11 Авг '13 22:51) Anatoliy
1

на счет замены: она хорошо видна по трем выражениям:
$%(1+\frac{x}4)$%
$%x^2+8x+17$%
$%x^2+8x-64$%
как правило, авторы задач не стараются запутать выражения дабы усложнить поиск такой замены. все, что тут может сбить с толку - коэф-ты $%с_0$% такие, что указанные выше полиномы не сворачиваются в полный квадрат

(11 Авг '13 23:08) miramentis

Большое спасибо @Anatoliy и @miramentis!

(12 Авг '13 8:21) Silence
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×226

задан
11 Авг '13 17:29

показан
872 раза

обновлен
12 Авг '13 8:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru