|
Несколько насосов одинаковой производительности начали наполнять бассейн. Насосы включались один за другим с равными интервалами. К моменту включения последнего насоса оказалась заполненной 1/6 бассейна. Какая часть бассейна была бы заполнена за половину времени, прошедшего с начала работы первого насоса до заполнения всего бассейна? Как решить задачу? вышло 5/12 задан 13 Авг '13 17:04 
parol |
|
Пусть емкость бассейна $%V$%, производительность каждого насоса $%p$%, количество насосов $%n$%, время заполнения бассейна $%t$%, промежуток времени между включениями насосов $%\Delta t$%. Тогда $$pt+p(t-\Delta t)+p(t-2\Delta t)+...+p(t-(n-1)\Delta t)=V$$ $$p\Delta t+p\cdot 2\Delta t+...+p(n-1)\Delta t=\frac{V}{6}$$ т.е. $$p(nt-\frac{n(n-1)}{2}\Delta t)=V \;\;\;(1)$$ $$p\frac{n(n-1)}{2}\Delta t=\frac{V}{6}\;\;\;(2)$$ откуда $$pnt=\frac{7}{6}V\;\;\;(3)$$ Кроме того, из этих же уравнений следует, что $%\frac{t}{(n-1)\Delta t}=14$%, а $%(n-1)\Delta t$% - это время включения последнего насоса, поэтому в момент времени $%t/2$% уже будут включены все насосы. Пусть в момент времени $%t/2$% заполнена $%k$%-я часть бассейна. Тогда $$p(n\frac{t}{2}-\frac{n(n-1)}{2}\Delta t)=kV\;\;\;(4)$$ Подставив в (4) выражения (2) и (3), найдем $$k=\frac{5}{12}$$ отвечен 13 Авг '13 21:58 
Андрей Юрьевич |
|
Пусть $%\Delta t-$% интервал времени включения насосов, $%t-$% время работы всех насосов, когда был включен последний насос, $%p-$% производительность одного насоса (часть объема бассейна, заполняемого за единицу времени). Тогда (до включения последнего насоса)$$p\Delta t+2p\Delta t+3p\Delta t+...+(n-1)p\Delta t=\frac{1}{6}\Leftrightarrow \frac{p\Delta tn(n-1)}{2}=\frac{1}{6}\quad(1);$$ при включении последнего насоса $%npt=\frac{5}{6}\quad (2).$% Из $%(1)$% и $%(2)$% $%t=\frac{5\Delta t(n-1)}{2}.$% Время работы первого насоса до запуска последнего $%t_1=(n-1)\Delta t,$% половина времени работы первого насоса с момента включения первого насоса до заполнения бассейна $%\frac{t_1+t}{2}=(n-1)\Delta t+\frac{3}{4}(n-1)\Delta t.$% За время $%(n-1)\Delta t - $% заполняется $%\frac{1}{6}$% бассейна, за время $%\frac{3}{4}(n-1)\Delta t$% заполняется $%\frac{3}{4}(n-1)\Delta t:\frac{5\Delta t(n-1)}{2}\cdot\frac{5}{6}=\frac{1}{4}$% бассейна. Всего за половину времени работы первой трубы будет заполнено $%\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$% бассейна. отвечен 14 Авг '13 8:14 
Anatoliy |
@parol, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.