Пусть задана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин $%X_n$%, имеющих геометрическое распределение, т.е. $%P(X_n = k) =p(1−p)^{k−1}$%. Найдите распределение случайных величин $%τ = \min\{n≥1:X_n > 1\}$% и $%X_τ$%\,, вычислите $%E(τ), E(X_τ)$%.

задан 27 Окт '20 13:30

изменен 27 Окт '20 22:44

falcao's gravatar image


269k63751

10|600 символов нужно символов осталось
0

Событие $%\tau=n$% означает, что $%X_1=\cdots=X_{n-1}=1$%, и $%X_n\ne1$%. Вероятности перемножаются, и получается $%p^{n-1}(1-p)$%. Это то же геометрическое распределение, но уже с параметром $%q=1-p$%. Отсюда $%E\tau=\frac1q$%.

Найдём распределение для $%Y=X_{\tau}$%. Она принимает значения $%2$%, $%3$%, ... . Пусть $%m$% -- одно из таких значение. Пересечём событие $%Y=m$% с каждым из событий $%\tau=1$%, $%\tau=2$%, ... , $%\tau=n$%, ... . Легко видеть, что $%P(Y=m,\tau=n)$% равна вероятности события $%\{X_1=\cdots=X_{n-1}=1,X_n=m\}$%. Это $%p^nq^{m-1}$%, и надо просуммировать по всем $%n\ge1$%, что даёт $%\frac{p}{1-p}\cdot q^{m-1}=pq^{m-2}$%. Отсюда сразу ясно, что $%Y-1$% имеет геометрическое распределение с параметром $%p$%. Поэтому $%EX_{\tau}=1+\frac1p$%.

ссылка

отвечен 27 Окт '20 22:42

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,407
×104
×38

задан
27 Окт '20 13:30

показан
559 раз

обновлен
27 Окт '20 22:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru