|
Биссектриса AD треугольника ABC делит сторону BC на отрезки BD=3 и DC=2. Медиана BM пересекает биссектрису AD в точке О. Чему равно отношение BO:OD? Я нашла отношения ВО:ОМ = 3:1, АО:ОD = 5:3. Подскажите, пожалуйста, как связать отрезки BO и OD. задан 14 Авг '13 16:15 
Uchenitsa |
|
Отношения которые вы нашли правильные. Обозначим $%AB=3x,AC=2x,AO=5y,OD=3y,BO=3z,OM=z.$% Затем применим формулы медианы и биссектрисы треугольника $% MB^2=\frac14(2AB^2+2BC^2-AC^2),AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC.$% $%4(4z)^2=2\cdot 25+2\cdot 9x^2-4x^2\Rightarrow 64z^2=14x^2+50$% $%(8y)^2=6x^2-6\Rightarrow 64y^2=6x^2-6.$% Получаем $%\frac{z^2}{y^2}=\frac{7x^2+25}{3x^2-3}\Rightarrow \frac{z}{y}=\sqrt{\frac{7x^2+25}{3x^2-3}}.$% Значит $%\frac{BO}{OD}=\frac{3z}{3y}=\frac{z}{y}=\sqrt{\frac{7x^2+25}{3x^2-3}}.$% Отсюда следует, что отношение зависит от $%x\in(1;5).$%Так-как таких треугольников можно построить сколько угодно, то задача не имеет решение.Эти тругольники можно построить так.Построим окружность центр ,$%O$%,которой на серединной перпендикуляре отрезка $%BC$%,a радиусь $%OB$%(таких окружностей бесконечно много),затем середина дуги BC соединяем с точкой $%D$% и продолжаем до пересечения с окружности. Точка пересечения будет точка $%A$%. Получим треугольник $%ABC.$%) отвечен 14 Авг '13 19:08 
ASailyan |
|
При тех данных, которые приведены в условии, отношение $%BO$% к $%OD$% не является постоянным, и его найти нельзя. Например, если $%AB=3x$%, $%AM=MC=x$%, то угол при вершине $%A$% можно устремить к 180 градусам. При этом длина медианы $%BM$% будет стремиться к $%4x$%, а длина биссектрисы $%AD$% -- к нулю. Тем самым, отношение $%BM:AD$% можно сделать сколь угодно большим, и то же верно насчёт отношения $%BO:OD$%. отвечен 14 Авг '13 18:44 
falcao |
|
Подскажите, пожалуйста, почему ВО:ОМ=3:1, а АО:ОD=5:3? Похожую задачу не можем решить. отвечен 21 Янв '14 9:35 
evgen9 Судя по всему, здесь в условии допущена опечатка, потому что указанное в условии отношение BO:OD может принимать бесконечно много разных значений, и его найти невозможно. А какие-то другие отношения найти можно. Делается это при помощи вспомогательных построений. Например, через точку M можно провести прямую, параллельную AD, и посмотреть, в каком отношении она делит отрезок DC.
(21 Янв '14 13:08)
falcao
Да, спасибо, я тут покопался, оказывается есть такая теорема Фалеса, по ней можно определить соотношение отрезков. Только еще и через т.С тоже надо провести прямую паралельную AD.
(21 Янв '14 16:27)
evgen9
@evgen9: да, это некое обобщение теоремы Фалеса. Можно также опираться на подобие треугольников. Так или иначе, это довольно простая техника, которой несложно овладеть. Прямых там бывает нужно проводить одну или несколько, но я говорил о самом приёме. Если понятно, как он работает, то догадаться до тех или иных дополнительных построений нетрудно. По этой причине я избегал излишней детализации.
(21 Янв '14 16:50)
falcao
|