теория-вероятностей - Мат.ожидание площади в квадрате с целочисленными координатами

Добрый день.

И дня не прошло, а у меня еще один вопрос по непростой, по моим меркам, задаче

Условие: есть квадрат с точками в целочисленных координатах (левый нижний угол - $%(0;0)$%, правый нижний и левый верхний угол - $%(0;N)$%, верхний правый угол - $%(N;N)$%). Джон красит точку, если случайно сгенерированное число в диапазоне от $%1$% до $%N+1$% равно $%1$%. Генерирует число он для каждой точки, то есть всего $%(N+1)^2$% раза. После этого он соединяет крайние точки из отмеченных. Получается контур, который содержит в себе все отмеченные точки. Полученный контур - выпуклый многоугольник. После чего находится его площадь. Если отмечены только одна или же две точки, то площадь контура считается равной нулю.

Чему равна ожидаемая площадь $%E(S)$% в квадрате $%(N\times N)$% ?

Для примера в задаче приведены ответы для квадрата $%(1\times 1)$% (имеется ввиду квадрат с координатами $%(0;0),(0;1),(1;0),(1;1)$%), $%E(S) = 0,1875$%, для $%(2\times 2)$%, $%E(S) = 0,94335$%, для $%(10\times 10)$%, $%E(S) = 55,03013$%.

Посчитать ожидание для $%(1\times 1)$% у меня получилось: $$ E(S) = (\frac{1}{2})^4 \cdot 1 \cdot 1 + (\frac{1}{2})^3\cdot (1 -\frac{1}{2})\cdot \frac{1}{2}\cdot 4 + (\frac{1}{2})^2 \cdot (1 - \frac{1}{2})^2\cdot 0\cdot 8 + (\frac{1}{2})\cdot (1-\frac{1}{2})^3\cdot 0\cdot 4 = \frac{1}{16} + \frac{1}{8} = 0,1875 $$

Но вот для квадрата побольше это уже очень просто так не посчитаешь.

Пробовал использовать формулу Пико, но пока ничего дельного не получилось.

Помогите идеей.