0
1

Медиана AM и биссектриса BD прямоугольного треугольника ABC ( угол C = 90 градусов) пересекаются в точке O, BO = 9 и OD = 5. Найти катеты и расстояние от точки O до гипотенузы AB.

задан 19 Авг '13 10:37

изменен 20 Авг '13 17:27

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Опустим из точки $%O$% перпендикуляры $%OK$% и $%OL$% на катеты $%BC$% и $%AC$%. Из подобия треугольников следует, что $%DL:LC=5:9$%; положим $%DL=5y$%, $%LC=9y$%. Далее, полагая $%BM=MC=7x$% и используя тот факт, что $%BK:KC=9:5$%, приходим к равенствам $%MK=2x$%, $%KC=5x$%. Теоема Пифагора, применённая к треугольнику $%BCD$%, влечёт равенство $%x^2+y^2=1$%. При этом тангенс угла $%DBC$% будет равен $%y/x$%, а потому тангенс удвоенного угла $%ABC$% равняется $$\frac{2\frac{y}x}{1-\frac{y^2}{x^2}}=\frac{2xy}{x^2-y^2}.$$

Теперь рассмотрим подобные треугольники $%OMK$% и $%AMC$%, откуда отношение $%OK:AC$% равно $%MK:MC=2:7$%. Ввиду того, что $%OK=LC=9y$%, находим $%AC=63y/2$%. Это значит, что тангенс угла $%ABC$% равен $%AC:BC=\frac{9y}{4x}$%. Приравнивая два выражения для тангенса одного и того же угла, мы после упрощений приходим к уравнению $%x^2=9y^2$%, после чего $%x$% и $%y$% легко находятся. Расстояние от $%O$% до гипотенузы равно расстоянию от $%O$% до катета $%BC$%, что составляет $%OK=LC=9y$%.

ссылка

отвечен 19 Авг '13 12:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,370
×22

задан
19 Авг '13 10:37

показан
1024 раза

обновлен
19 Авг '13 12:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru