Нужно разложить функцию $$f(x) = \begin{cases}x & 0<x\leq1\\2-x & 1<x<2\end{cases}$$ по синусам на интервале (0;2). Верен ли мой ход решения? $$b_{n} = \frac{2}{2}\int_{0}^{2} f(x)\sin(\frac{\pi nx}{2})\text{d}x = \int_{0}^{1} x \sin(\frac{\pi nx}{2})\text{d}x +\int_{1}^{2} (2-x) \sin(\frac{\pi nx}{2})\text{d}x$$ Просто когда считаю первый интеграл получаю синус и косинус с аргументом $$\frac{\pi n}{2}$$ соответственно не могу вместо косинуса подставить (-1)^n а вместо синуса 0

UPD: Когда нахожу интегралы и суммирую их получаю $$\frac{8}{\pi^{2}n^{2}} \sin(\frac{\pi n}{2})$$ этот аргумент у синуса в ступор вводит, я ведь не могу его никак преобразовать

задан 6 Ноя '20 20:00

изменен 6 Ноя '20 20:19

Формула верна. Можно рассматривать отдельно чётные номера и нечётные.

(6 Ноя '20 20:14) caterpillar

@caterpillar то есть представить n = 2k+1 и n=2k?

(6 Ноя '20 20:20) mutter123

Если всё действительно так, то чётные коэффициенты нулевые -- их можно не учитывать.

(6 Ноя '20 20:23) caterpillar

@caterpillar тогда получается $$\frac{8}{\pi^{2}n^{2}}(-1^{n})$$ ?

(6 Ноя '20 20:27) mutter123

Вы должны были всюду произвести переход к нечётным индексам, а почему-то n осталось как и было.

(6 Ноя '20 20:36) caterpillar

@caterpillar что значит перейти к нечетным индексам?

(6 Ноя '20 20:38) mutter123

Вы же сами написали про n=2k+1

(6 Ноя '20 20:39) caterpillar

@caterpillar $$\frac{8}{\pi^{2}(2k+1)^{2}}(-1)^{2k+1}$$

(6 Ноя '20 20:42) mutter123

@mutter123: это неправильно. Во-первых, -1 в нечётной степени всегда равно -1, то есть в такой форме можно было бы упростить. Во-вторых, синус преобразован неправильно. При чётных n синус равен нулю. Если n=2k+1, то получается sin(пk+п/2). Это 1 при чётном k и -1 при нечётном, то есть (-1)^k.

(6 Ноя '20 21:17) falcao

Извините, что вмешиваюсь. Но разве не надо было продолжать функцию нечетным образом на (-2,0) и только потом коэффициенты Фурье находить? Так сейчас косинусы куда денутся? А, понял. 2 перед интегралом

(6 Ноя '20 23:01) spades

@spades: да, этот эффект был учтён.

(7 Ноя '20 0:04) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,299
×797
×82
×22

задан
6 Ноя '20 20:00

показан
128 раз

обновлен
7 Ноя '20 0:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru