$$2sin(3x+\frac{\pi}{4})= \sqrt{1+8sin2x \cdot cos^22x}$$

задан 23 Авг '13 14:06

10|600 символов нужно символов осталось
2

$$2sin(3x+\frac{\pi}{4})= \sqrt{1+8sin2x \cdot cos^22x}\Leftrightarrow\sqrt{2}(\sin3x+\cos3x)=\sqrt{1+4\sin4x \cdot cos2x}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\sqrt{2}(\sin3x+\cos3x)=\sqrt{1+2(\sin6x + \sin2x})\Rightarrow2(\sin3x+\cos3x)^2=$$$$=1+2(\sin6x + \sin2x)\Leftrightarrow 2\sin 2x=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} x=\frac{\pi}{12}+k\pi,k\in Z,\\ x=\frac{5\pi}{12}+n\pi,n\in Z.\\ \end{aligned} \right. $$

Затем проверьте каждую серию (с возможным разбиением на подсерии), подставляя в исходное уравнение . Например, для первой серии $$x=\frac{\pi}{12}+k\pi,k\in Z=\left[ \begin{aligned} x_1=\frac{\pi}{12}+2k\pi,k\in Z,\\ x_2=\frac{\pi}{12}+\pi +2k\pi,n\in Z.\\ \end{aligned} \right.$$ $$\sin(3x_1+\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{2}+6k\pi)=1>0-$$проходит; $$\sin(3x_2+\frac{\pi}{4})=\sin(\frac{\pi}{2}+3\pi+6k\pi)=-1<0-$$ не проходит . Аналогично и для второй серии решений.

ссылка

отвечен 23 Авг '13 14:56

изменен 23 Авг '13 20:41

тут же надо проверить $$sin(3x+\frac{\pi}{4})>=0$$

(23 Авг '13 16:36) Amalia

как проверить?

(23 Авг '13 17:33) Amalia

действительно надо проверить выполнение условия $%sin(3x + \frac{\pi}{4}) >= 0$%;
$%x = \frac{\pi}{12} + k\pi$%, то $%3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 3\dot k\pi$% , и если $%x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$%, то $%3x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 3\dot k\pi$% - и можно нарисовать триг. окружность, и посмотреть, какие лучи получаются.. ( в каких случаях синус будет неотрицателен)

(23 Авг '13 18:16) ЛисаА

и какой в итоге ответ тогда получается?

(23 Авг '13 18:44) Amalia

Не-а.. =)) @Amalia, давайте Вы назовете Ваш ответ - тогда сверим ответы =) иначе не интересно..
Например, для первой серии корней: если $%x = \frac{\pi}{12} + k\dot \pi$%, то $% 3x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 3\dot k\pi$% - посмотрите на "круге", где будет находится луч при четных $%k$%, и где при нечетных $%k$% ? соответственно, в каком случае выполняется $%sin(3x + \frac{\pi}{4}) >= 0$% ? тогда и в ответе будет $%x = \frac{\pi}{12} + k\dot \pi$% - "не со всеми целыми" $%k$%, а только .. ( c четными или с нечетными $%k$%? - посмотрите сами.. )

(23 Авг '13 21:48) ЛисаА

Да, я не понимаю как надо отбор делать

(24 Авг '13 0:50) Amalia

@Amalia, независимо от того, как делать ( так, как я говорила, или так, как предлагал @Anatoliy) - все равно получаются корни $%x = \frac{\pi}{12} + k\pi$% и $%x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$% - и из них надо отбирать те, которые соответствуют условию $%sin(3x + \frac{\pi}{4}) >= 0$%. Там выше @Anatoliy уже добавил продолжение к своему решению.. уже подсказал, как отбирать корни. Только он предложил Вам сразу разделить каждую серию корней "на подсерии" - т.е. рассматривать отдельно четные и нечетные $%k$%. А я говорила "просто нарисуйте окружность" - посмотрите, где будет луч..

(24 Авг '13 1:10) ЛисаА

.. все равно Вы должны получить одно и то же. Удовлетворяет корень условию или не удовлетворяет - зависит от четности "счетчика" $%k$%. Посмотрите решение @Anatoliy - все же написано.. (для одной серии корней)

(24 Авг '13 1:13) ЛисаА
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
2

Доброго дня. @Amalia, уравнение вроде легко решается "в лоб". Т.е.
1) Возведите в квадрат обе части уравнения ("запомнив" условие $%sin(3x + \frac{\pi}{4}) >= 0$%);
2) Для левой части $%4 sin^2(3x+ \frac{\pi}{4})$% - формула понижения степени (переход к косинусу двойного угла);
3) Для выражения $%8sin(2x)\dot cos^2(2x)$% - формула синуса двойного угла, и преобразование произведения в сумму;
должно остаться совсем несложное триг. уравнение.. только его корни потом надо будет проверять на выполнение условия $%sin(3x + \frac{\pi}{4}) >= 0$%);

ссылка

отвечен 23 Авг '13 14:23

изменен 23 Авг '13 14:24

а как правильно отбор сделать?

(23 Авг '13 16:57) Amalia

Значит получается два ответа $$\frac{\pi}{12} +2\pi k$$ $$\frac{17\pi}{12} +2\pi k$$

(24 Авг '13 12:46) Amalia

Да (похоже, именно так)

(24 Авг '13 12:54) ЛисаА
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×765
×43

задан
23 Авг '13 14:06

показан
893 раза

обновлен
24 Авг '13 12:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru