3
1

Квадрат $%5\times 5$% разрезали по клеточкам на 7 прямоугольников, среди которых нет двух одинаковых. Докажите, что среди этих 7 прямоугольников найдётся пара подобных.

задан 9 Ноя '20 14:29

изменен 10 Ноя '20 2:23

10|600 символов нужно символов осталось
3

Если среди получившихся прямоугольников нет одинаковых, то может быть не более, чем по одному прямоугольнику площадей 1, 2, 3 и 5, а также не более, чем два - площади 4. Значит, если $%S_1, S_2,...,S_7$% - площади прямоугольников, расположенные в порядке неубывания, то $$S_1 \ge 1, \; S_2 \ge 2, \; S_3 \ge 3, \; S_4 \ge 4, \; S_5 \ge 4, \; S_6 \ge 5, \; S_7 \ge 6.$$ Если хотя бы одно из этих неравенств - строгое, то $$S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 + S_7 \gt 25.$$ Следовательно, в каждом из них имеет место равенство. В частности, имеется один прямоугольник площади 1 и два - площади 4. Значит, имеются два квадрата - 1х1 и 2х2. Они и являются подобными прямоугольниками.

Такой способ разрезания действительно существует:

alt text

ссылка

отвечен 21 Июл 4:53

изменен 21 Июл 4:54

1

@splen, большое спасибо!

(21 Июл 11:15) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×72
×30
×28
×1
×1

задан
9 Ноя '20 14:29

показан
231 раз

обновлен
21 Июл 11:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru