простые-числа - Простые числа

Пусть $%37p^2-47p+4=n^2$%, где $%n$% целое неотрицательное. Тогда $%p(37p-47)=(n-2)(n+2)$%, и нужно рассмотреть два случая -- когда на $%p$% делится $%n-2$% или $%n+2$%.

1) $%n=pk+2$%, $%k\ge-1$% целое. Подставляем это значение в уравнение, сокращая на $%p$%. Получится $%37p-47=k(pk+4)$%, то есть $%(37-k^2)p=4k+47$%. Справа стоит нечётное число, поэтому $%37-k^2$% нечётно, то есть $%k$% чётно. При этом обе части положительны, и достаточно перебрать случаи $%k=0,2,4,6$%. Первые два случая не подходят, а в двух последних получается $%k=4$%, $%p=3$%, $%n=14$% и $%k=6$%, $%p=71$%, $%n=428$%. Это даёт два решения.

2) $%n=pk-2$%, где $%k\ge1$% целое. Здесь получается $%(37-k^2)p=47-4k$%, где $%k$% также чётно. Если оба числа, как и прежде, положительны, то снова проверяем значения $%k=0,2,4,6$%, из которых подходит только $%k=6$%, $%p=23$%, $%n=136$%. Это даёт третье решение. Больше решений нет, потому что если обе части равенства отрицательны, то уравнение переписывается в виде $%(k^2-37)p=4k-47$%, где $%k\ge12$%. Легко заметить, что левая часть больше правой, поскольку $%k^2\ge4k-4$% при всех $%k$%.

Итак, решений всего три: $%p=3$%, $%p=23$%, $%p=71$%.