Код сейфа состоит из наугад выбранных 4 цифр.
Какова вероятность того, что код сейфа содержит хотя бы одну из трех данных цифр?

О том, что числа должны быть различны, ничего не сказано, значит могут повторяться.

задан 24 Авг '13 15:21

изменен 27 Авг '13 16:20

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Обозначим искомое событие как $%A$%. Также введем события $%B_k$% - множество "трех данных цифр" состоит из $%k$% различных элементов.
$$p(B_1)={1\over10}\cdot{1\over10}=0.01$$ $$p(B_3)={9\over10}\cdot{8\over10}=0.72$$ $$p(B_2)=1-p(B_1)-p(B_3)=0.27$$ Для начала, найдем вероятность противоположного события для каждого случая, а именно: "ни одна из 4 цифр кода сейфа не принадлежит множеству из $%k$% цифр". То есть, все цифры кода сейфа принадлежат множеству из $%10-k$% цифр (всех, кроме данных $%k$%). $$p(\neg A|B_k)=\left({10-k}\over10\right)^4$$ $$p(\neg A)=\sum_{k=1}^3 p(B_k)p(\neg A|B_k)=0.01\left(9\over10\right)^4+0.27\left(8\over10\right)^4+0.72\left(7\over10\right)^4\approx0.29$$ $$p(A)=1-p(\neg A)\approx0.71$$ Возможно, для случаев с большим количеством элементов в множествах можно придумать что-то более элегантное, но для данной задачи и так сойдет.

ссылка

отвечен 24 Авг '13 15:34

изменен 25 Авг '13 15:56

1

@chameleon: я сейчас обратил внимание, что в Вашем решении "усложнённой" версии задачи поменялись ролями случаи 1 и 3. То есть при подсчёте надо поменять местами коэффициенты $%0,72$% и $%0,01$%. Тогда в ответе будет около $%71\%$%, то есть близко к значению, которое получается для "простой" версии.

(24 Авг '13 22:46) falcao

Да, действительно. Исправил.

(25 Авг '13 15:56) chameleon
10|600 символов нужно символов осталось
1

Всего кодов имеется $%10^4$%. Зафиксируем какие-то три цифры; тогда кодов без их участия ровно $%7^4$%. Поэтому $%7^4/10^4$% есть вероятность того, что у случайно взятого кода ни одна из трёх загаданных нами цифр не встретится. Значит, нас интересует число $%1-0,7^4$% -- это будет вероятность того, что в коде встретится хотя бы одна из трёх данных цифр. Это примерно $%76\%$%.

ссылка

отвечен 24 Авг '13 20:35

изменен 24 Авг '13 20:36

@falcao, я тоже сначала именно так написал. Но после уточнения условия оказалось, что среди этих "трех цифр" могут оказаться одинаковые, так что так просто не получается.

(24 Авг '13 20:44) chameleon

Я думаю, что в таких случаях интерпретация условия достаточно однозначная: в самом коде цифры могут совпадать, как это и бывает на практике, но когда говорится о "трёх цифрах", то по умолчанию должно считаться, что они различны. Конечно, для более однозначной трактовки проще было бы конкретизировать -- например, сказать, что код содержит одну из цифр 0, 1, 2. Если бы имелось в виду что-то другое, то формулировать надо было бы по-другому: 4-значный код содержит одну из цифр случайно взятого 3-значного кода. В данном случае "три" выступает как количество, то есть в "абсолютном" смысле.

(24 Авг '13 21:09) falcao

Я спрашивал у автора именно на счет второго множества (трех цифр). И получил второй абзац условия в качестве ответа.

(24 Авг '13 21:15) chameleon

@chameleon: Я понял, из чего Вы исходили. Фактически, Вы тем самым решили более сложную задачу. Но по формулировке задача вполне напоминает "типовую", и если она взята откуда-нибудь из задачника, то интерпретация должна быть обычной: в этом контексте "три цифры" понимаются именно как три различные.

(24 Авг '13 21:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,743

задан
24 Авг '13 15:21

показан
675 раз

обновлен
25 Авг '13 15:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru