Пусть $%x,y,z -$% такие положительные числа, что $$\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}=\frac{2}{(x+y)(y+z)(z+x)}$$ Найти все возможные значения выражения $%xy+yz+zx$%

задан 11 Ноя '20 23:41

изменен 12 Ноя '20 0:17

1

$$xy+yz+zx=1.$$

(11 Ноя '20 23:48) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если из одного вычесть другое, то получится дробь, в числителе которой находится произведение выражения $%xy+yz+zx-1$% и многочлена с положительными коэффициентами. Это можно проверить на компьютере, но хотелось бы чего-то менее "механического".

Попробуем выразить всё через элементарные симметрические многочлены. Положим $%a=x+y+z$%, $%b=xy+yz+zx$%, $%c=xyz$%. Правая часть равна $%\frac2{ab-c}$%. В левой части находится сумма выражений вида $%\frac1{t+t^{-1}}$%, где $%t=x,y,z$%. Найдём многочлен, корнями которого будут $%t+t^{-1}$%.

Положим $%f(t)=t^3-at^2+bt+c$%. Корнями с учётом кратности будут $%x$%, $%y$%, $%z$%. Рассмотрим произведение $%f(t)f(t^{-1})$% и раскроем в нём скобки. Коэффициенты при $%t^n$% и $%t^{-n}$% будут одинаковыми. Отсюда из равенства $%f(t)f(t^{-1})=0$% мы придём к $$ 1+a^2+b^2+c^2-(a+ab+bc)(t+t^{-1})+(b+ac)(t^2+t^{-2})-c(t^3+t^{-3})=0. $$ Ясно, что $%t^2+t^{-2}=(t+t^{-1})^2-2$% и $%t^3+t^{-3}=(t+t^{-1})^3-3(t+t^{-1})$%. С учётом этого, членами степеней $%0$% и $%1$% от $%t+t^{-1}$% будут $%1+a^2+b^2+c^2-2ac-2b$% и $%-(a+ab+bc-3c)$% соответственно. После деления на $%(t+t^{-1})^3$% получится многочлен с корнями вида $%\frac1{t+t^{-1}}$%, и тогда сумма корней, то есть левая часть равенства из условия, примет вид $%\frac{a+ab+bc-3c}{(a-c)^2+(b-1)^2}=\frac{(a+c)(b-1)+2(a-c))}{(a-c)^2+(b-1)^2}$%.

При $%b=1$% левая и правая части превращаются в $%\frac2{a-c}$%. После преобразования разности двух дробей появится множитель $%b-1$%, а именно, возникнет равенство $$ \frac{(b-1)(a^2b+2a^2+abc+2-c^2-3ac-2b)}{((a-c)^2+(b-1)^2)(ba-c)}=0. $$ Для доказательства единственности значения $%b=1$% достаточно проверить, что второй сомножитель в числителе всегда положителен. Это верно само по себе, если подставить выражения от $%x$%, $%y$%, $%z$% и раскрыть скобки, но есть предположение, что неравенство здесь можно установить как-нибудь попроще -- например, с применением неравенств о среднем, или с использованием того, что $%ab > c$%, ввиду положительности правой части. Может, кто-нибудь увидит здесь более прямое окончание рассуждения.

ссылка

отвечен 12 Ноя '20 17:40

1

@falcao: Я решал иначе, вспомнив тождества для треугольника: $$\cotα\cotβ+\cotβ\cotγ+\cotγ\cotα=1,$$ $$\sin2α+\sin2β+\sin2γ=4\sinα\sinβ\sinγ.$$

(12 Ноя '20 18:10) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: наверное, такой подход и имелся в виду. Я-то понадеялся на симметрические многочлены, но уже в момент написания текста оказалось, что там надо обосновывать положительность.

А Вы такого рода тождества на память помните?

(12 Ноя '20 21:25) falcao
1

@falcao: Мне казалось, что из второго тождества несложно получить $%α+β+γ=\pi n$%. Но не осилил (это не верно, если слева есть отрицательное слагаемое).

Именно приведенные тригонометрические тождества помню, а например, в преобразование суммы синусов в произведение могу ошибиться.

(12 Ноя '20 21:52) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
4

1) $%\ xy+yz+zx=1$%

$$\dfrac{x}{1+x^2}=\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}\ ,\ ...$$

$$\dfrac{x}{1+x^2}+\dfrac{y}{1+y^2}+\dfrac{z}{1+z^2}=\dfrac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}= \dfrac{2}{(x+y)(y+z)(z+x)}$$

2) $%\ xy+yz+zx<1$%

$$\dfrac{x}{1+x^2}<\dfrac{x}{(x+y)(x+z)}\ ,\ ...$$

$$\dfrac{x}{1+x^2}+\dfrac{y}{1+y^2}+\dfrac{z}{1+z^2}<\dfrac{2(xy+yz+zx)}{(x+y)(y+z)(z+x)}<\dfrac{2}{(x+y)(y+z)(z+x)}$$

3) Аналогично случай: $%xy+yz+zx>1$%

ссылка

отвечен 15 Ноя '20 16:19

1

Самое хорошее решение -- с очень прозрачной идеей, и легко проверяемое.

(15 Ноя '20 17:43) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

alt text

ссылка

отвечен 12 Ноя '20 22:34

10|600 символов нужно символов осталось
1

alt text

ссылка

отвечен 14 Ноя '20 17:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,103
×48

задан
11 Ноя '20 23:41

показан
428 раз

обновлен
15 Ноя '20 17:43

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru