Петя придумал некоторую функцию $%f(x)$%, $%D(f)\subseteq\mathbb{R}$%, $%E(f)\subseteq\mathbb{R}$%. Он взял клеенку и нарисовал график $%f(x)$% в декартовой (прямоугольной) системе координат. Потом он взял другую клеенку и нарисовал график всё той же функции, но уже в полярной системе координат, при чем с тем же масштабом, что и в ДСК. Затем Петя наложил одну клеенку на другую и с удивлением обнаружил, что графики функций в точности совпадают.
Найти множество всех возможных функций $%f(x)$%.
Для ясности: никаких других условий на $%f(x)$% не налагается. Она не обязана быть элементарной, может иметь точки разрыва и т.д. и т.п. К примеру, функция, которая не определенна ни в одной точке, - тоже одно из решений.

задан 26 Авг '13 15:19

изменен 25 Янв '15 11:06

EdwardTurJ's gravatar image


1.6k38133

P.S. Я не знаю, можно ли писать $%f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$% в данном случае (когда функция может быть определена не на всей числовой прямой)? Подскажите, пожалуйста.

(26 Авг '13 15:24) chameleon

Я думаю, что нельзя, если следовать условию. Это частный случай.

(26 Авг '13 15:27) Anatoliy

А как Петя налаживал одну клеенку на другую?

(26 Авг '13 15:36) Anatoliy

Одну поверх другой, без каких-либо складок. С любым перемещением, поворотом и переворотом (последнее означает, что ПСК может быть как по часовой стрелке, так и против).

(26 Авг '13 15:43) chameleon

А что подразумевается под графиком в полярной системе координат? Правильно ли я понимаю, что если точка $%(x,y)$% была на первом графике, то на втором должна быть точка с координатами $%(y\cos x,y\sin x)$%? Также хотелось бы уточнить, можно ли переворачивать клеёнку, или допускаются только повтороты со сдвигами?

(26 Авг '13 15:45) falcao

Да, переворот допускается, т.е. точке $%(x,y)$% соответствует $%(x_0+y\cos(sx+\alpha),y_0+y\sin(sx+\alpha)), s\in\{-1,1\}$%, где $%(x_0,y_0), \alpha, s$% - центр, угол поворота и "направление" ПСК, соотв.

(26 Авг '13 15:50) chameleon

@chameleon: я пока так и не понял, верно ли моё толкование условия. У меня речь шла о каждой отдельной точке графика, то есть не было ни прямых, ни чего-то ещё. Уточнение касалось понятия графика функции в полярной системе. Я предположил, что $%y$% превращается в $%r$%, а $%x$% -- в $%\varphi$%, и при этом после удачного перемещения графики должны совпасть. Это верно?

(26 Авг '13 16:43) falcao

Именно так

(26 Авг '13 16:49) chameleon
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×147
×68
×19

задан
26 Авг '13 15:19

показан
638 раз

обновлен
25 Янв '15 11:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru