|
Сколько цифр содержит число 777…77, если известно, что оно кратно 19? задан 27 Авг '13 15:09 
parol |
|
$%777...777 = 7*\frac{10^n-1}{9}$% $%10^n \equiv 1 \text{mod} 19 \Rightarrow n=18k \Rightarrow n_{min}=18$% отвечен 27 Авг '13 15:31 
all_exist Здесь ведь надо ещё проверить, что 18 будет наименьшим числом. Для этого достаточно убедиться в том, что $%10^9$% и $%10^6$% не сравнимы с 1 по модулю 19, что в принципе проверяется достаточно просто.
(27 Авг '13 21:02)
falcao
@falcao, а зачем проверять... вроде $%18k$% описывает все решения уравнения $%10^n\equiv 1\text{mod}19$%...
(28 Авг '13 13:24)
all_exist
@all_exist: в данном случае это так, но как можно сделать этот вывод без проверки? Понятно, что 18 будет периодом в силу малой теоремы Ферма, но ведь надо ещё обосновать, что он является наименьшим периодом. В общем случае это не так: например, если 19 заменить на 37, то наименьшим периодом будет не 36, а 3. Поэтому надо проверять ещё и делители числа 18; при этом достаточно ограничиться двумя максимальными собственными делителями 18/2=9 и 18/3=6. А без проверок вывод сам по себе неочевиден.
(28 Авг '13 18:51)
falcao
|