$%|x-1|+|x+1|+|x-2|+|x+2|+...+|x-100|+|x+100|=200x$%

задан 27 Авг '13 18:19

изменен 27 Авг '13 19:09

Anatoliy's gravatar image


12.7k226

10|600 символов нужно символов осталось
1

При $%x\geq 100$% значение левой части равно $%x-1+x+1+...+x-99+x+99+x-100+x+100=x\cdot 200$%. На $%(-\infty;100)$% левая часть возрастает медленнее, чем правая. Значит, других решений нет.

ссылка

отвечен 27 Авг '13 19:31

3

Мне кажется, тут проще всего рассуждать так: модуль числа всегда не меньше самого числа, поэтому левая часть не меньше суммы без модулей, равной $%200x$%. Поэтому все неравенства обращаются в равенства, а это значит, что все числа под знаком модуля неотрицательны, что равносильно условию $%x\ge100$%.

(27 Авг '13 20:57) falcao

@falcao, красиво!
(может, это можно оформить как "ответ" - а то не очень заметно, когда просто комментарий..)

(28 Авг '13 0:16) ЛисаА

@ЛисаА: это не было моё независимое решение -- я зашёл сюда, когда ответы были уже даны. То соображение, которое здесь было высказано -- это всего лишь небольшое добавление к решению @aapetrov3.

(28 Авг '13 18:45) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%x\in[100;+\infty).$% Обратите внимание на то, что функция, для которой аналитическое выражение есть левая часть уравнения, является четной, непрерывной, возрастающей на $%[0;+\infty)$% и принимает положительные значения. График симметричен относительно начала координат, и представляет собой последовательность отрезков, а на промежутках $%(-\infty;-100]$% и $%[100;+\infty)$%- два луча: $%y=-200x$% и $%y=200x.$%

ссылка

отвечен 27 Авг '13 19:08

изменен 27 Авг '13 19:46

нет, $%1+1+2+2+...+99+99+100+100\neq0$%

(27 Авг '13 19:32) dmg3

Может у Вас что-то с условием? Я позволил себе его подредактировать. В этой редакции $%0$% не является решением уравнения.

(27 Авг '13 19:32) Anatoliy

да да, мои извинения...совсем просто запутался

(27 Авг '13 19:42) rumotameru
10|600 символов нужно символов осталось
1

Там, наверное, все подряд $%\vert x - n \vert + \vert x + n\vert $% ? Тогда, похоже, как-то так:
1) $% x >= 0$% ;
2) Если $% x \in [- n; n]$% (или, учитывая, что $%x >=0 $%, можно рассматривать $%x \in [0; n]$% ), то сумма расстояний до точек $%( -n)$% и $% n$% - т.е. выражение $%\vert x - n \vert + \vert x + n\vert $% равно $%2n$%; а если $%x$% "за пределами" промежутка $%[- n; n]$% ( т.е. если $%x >= n$%) , то $%\vert x - n \vert + \vert x + n\vert = 2x$%;
3) Если $%x >= 100$%, то слева $%= 2x\cdot 100 = 200x$%, т.е. все $%x >= 100$% подходят ( будут решениями).
4) А если $% x\in (-n;n)$% {точнее, $%x \in [0;n)$%}, где $%n$% - натуральное, и $%n <= 100$%, то - надо доказать, что такие $%x$% решениями не будут. Для каждого такого $%x\in [n; n+1)$% cлева получаем:
$%\vert x - 1 \vert + \vert x + 1\vert + \vert x - 2 \vert + \vert x + 2\vert + \vert x - 3 \vert + \vert x + 3\vert + \dots \vert x - n \vert + \vert x + n\vert = $%
$% = 2x\cdot n + 2\cdot[ (n + 1) + ( n+ 2 ) + \dots + (n + (100-n))]$% -- в последней сумме ( в скобках []) всего $%(100 - n)$% слагаемых, и эта сумма будет равна $%n\cdot(100 - n)+ 1 + 2 + \dots + (100 - n) = n\cdot(100 - n) + \frac{101 - n}{2}\cdot(100 - n) =$%
$%= \frac{101 + n}{2}\cdot(100 - n)$%. Т.е. вся левая часть уравнения:
$%2xn + 2\cdot\frac{101 + n}{2}\cdot(100 - n)= 200x$% Откуда $%x = \frac{101 + n}{2}$% - но для $%n < 100$% это значение $%x = \frac{101 + n}{2}$% не попадет в промежуток $%(0;n)$%
P.S. только, кажется, я запуталась в "скобках" - где включаются концы промежутка, где нет..

ссылка

отвечен 27 Авг '13 19:32

изменен 28 Авг '13 1:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×434
×72

задан
27 Авг '13 18:19

показан
923 раза

обновлен
28 Авг '13 18:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru