Найти многочлены u(x),v(x) такие, чтобы они удовлетворяли равенству f(x)u(x)+g(x)v(x)=НОД(f(x),g(x)), где f(x)=x^3+2x-1, g(x)=x^2-x+1.

Сначала я находил НОД. При первом делении получил частное q1(x)=x+1, остаток r1(x)=2x-2, сократил на 2 и получил r1(x)=x-1. При втором делении g(x) на r1(x), получил частное q2(x)=x, остаток r2(x)=1. Так как r2(x)=1, следовательно НОД(f(x),g(x))=1. Далее я составлял систему вида:

Первое уравнение f(x)=g(x)*q1(x)+r1(x)

Второе уравнение g(x)=r1(x)*q2(x)+r2(x)

Из первого уравнения выразил r1(x) и подставил во второе. Получилось из первого уравнения: r1(x)=f(x)-g(x)q1(x). При подстановке получилось g(x)=(f(x)-g(x)q1(x))*q2(x)+r2(x). Далее воспользовался тем, что r2(x)=НОД(f(x),g(x)). В результате преобразований я пришел к тому, что u(x)=-x; g(x)=x^2+x+1. Но при проверке, оказалось, что при таких u(x),v(x) равенство не получается.

Помогите, пожалуйста, прийти к решению.

задан 19 Ноя '20 12:07

1

Ошибка в том, что не учтено сокращение на 2. После переобозначения должно быть f=gq1+2r1. И здесь лучше начинать снизу, а не сверху, то есть НОД раскладываем по двум предыдущим остаткам -- в данном случае по r1 и r0=g. А потом смотрим на равенство, где появилось впервые r1, раскладываем его по r0=g, r_{-1}=r и избавляемся от r1. Приводя подобные, раскладываем по r0, r_{-1}.

Ещё можно методом неопределённых коэффициентов: 1=fu+gv, где deg(u) < deg(g), deg(v) < deg(f).

(19 Ноя '20 13:20) falcao

@falcao, спасибо, всё сошлось.

(19 Ноя '20 13:51) Pointer
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,779
×436

задан
19 Ноя '20 12:07

показан
68 раз

обновлен
19 Ноя '20 13:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru